Complet (?)

[sandrine_guillerme]

Bonjour ,

J'ai un petit problème :

on munit (ensemble des entiers naturels) de la valeur absolue

Montrer qu'il est complet .

Je vous remercie de me répondre

[Zebulon]

Bonsoir,
je n'ai pas encore étudié les espaces complets mais il semble qu'il suffit de montrer que toute suite de Cauchy de est constante à partir d'un certain rang, donc convergente dans .

[sandrine_guillerme]

Lol c'est le probleme que j'ai maintenant en fait



Donc si t'as une idée comment montrer que si la suite x_n est de Cauchy, Alors elle converge .. je serais ravie ..

Merci d'avance .

[Zebulon]

Elle converge parce qu'elle est constante à partir d'un certain rang. Ecrivez le critère de Cauchy pour ...

[Alpha]

Eh bien si elle est de Cauchy, il existe un certain N à partir duquel
|xn - xN| < 1/2, ce qui montre qu'à partir de ce rang xn = xN donc (xn) est constante à partir du rang N donc converge.

[alben]

Bonsoir,

Une suite de Cauchy sur N ? Si on choisit €=0,9 par exemple, cela veut dire qu'à partir d'un certain rang, |xn-xm|<0,9
Comme xn et xm sont des entiers, cela n'est possible que s'il sont égaux. Donc à partir d'un certain rang, ta suite est constante....
PS Doublé par Alpha et Zebulon

[Zebulon]

PS Doublé par Alpha

Et moi alors?!!?
:we:

[sandrine_guillerme]

C'est bizarre .. :doh:

c'est même trop bizarre les deux démo me paraissent correct :triste: c'est indécidable ? :ptdr:

non non .. la c'etait un exercice (3 étoiles sans la correction) et ça métone que ça soit aussi simple .. pas vous?

[Alpha]

Ca ne m'étonne pas, puisque c'est juste.

[sandrine_guillerme]

C'est quoi qui est juste la tienne avec zebulon ou celle d'Alben ?

[Imod]

J'espère que les étoiles du Michelin ne suivent pas la même pente :eek:

Imod

[sandrine_guillerme]

pardon ?
J'ai pas compris .. Qui sais qui peut trancher ?

[Imod]

Les démonstrations sont les mêmes , les suites de cauchy dans sont les suites constantes à partir d'un certain rang , elles sont donc convergentes .

Imod

[sandrine_guillerme]

je suis d'accord .. mais .. :triste:
ceci me choque tout simplement parceque Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné.

(cf Wikipédia .. )

Sa te choque pas toi ?

[Imod]

C'est une bonne intuition de la complétude , mais elle dépend avant tout de la topologie ( ici de la distance ) attribuée à l'ensemble . Par exemple , tout ensemble muni de la topologie grossière est complet .

Imod

[sandrine_guillerme]

Ok je crois que c'est bon .. eh bien merci à vous tous .

Bonne soirée .

[Zebulon]

Par exemple , tout ensemble muni de la topologie grossière est complet .

On a même que dans cet espace, toute suite est convergente.
Dans un ensemble muni de la topologie discrète (comme ), une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente, si et seulement si elle est constante à partir d'un certain rang.

[Gato]

Il va falloir faire cohabiter cette vision "sans trou" avec celle de connexité , en particulier celle de simple connexité.

est un fermé (donc complet) de

n'est pas un fermé de .

Notre vision de la non complétude de est trop "facile" parce que nous connaissons depuis longtemps (nous voyons les trous !)
Il est d'usage en topologie de se raccrocher à une vision sur la droite réelle , dans le plan ou dans l'espace.Cela a ses limites.Je me suis fait un jour piéger en écrivant :

soit les deux boules ouvertes : B(a,r) et B'(a',r') ; comme B=B' on en déduit :
a=a' et r=r'.
Le genre d'erreur formatrice qui apporte beaucoup (vision,recul et méfiance).