Compacité et normalité!

[RadarX]

Est ce qu'un espace compact est un espace normal? Si oui, une petite preuve serait bienvenue.

Je rappelle qu'un espace topologique est dit normal ssi qq soient F1 et F2 deux fermés t.q. F1 n F2 = vide, alors il existe O1 et O2 t.q. Fi inclus dans Oi (i=1,2) et O1 n O2 = vide.

RadarX.

PS:Tenez, suis devenu membre confirmé!!! C'est quoi le critere? et c'est quoi le hierarchie suivante?

[Anonyme]

Je sais montrer que dans un espace séparé, deux compacts peuvent être séparés par des ouverts. Bon. Deux fermés d'un compact sont compacts, non? CQFD.
Je vous laisse réfléchir un peu là-dessus, j'écris une démo complète plus tard si c'est nécessaire.

sept-épées

PS : membre confirmé? je suppose que le stade suivant c'est la médaille fields...

[RadarX]

Fields toi meme 7-glaives! :++:

RadarX.

[Anonyme]

Soit E un espace topologique séparé, K une partie compacte de E, et a un élément de E en dehors de K. Pour tout élément x de K, comme x est distinct de a, on peut trouver deux ouverts U(x) et V(x) disjoints contenant respectivement a et x. La réunion de tous les V(x) recouvre K, qui est compact, donc un nombre fini d'entre eux recouvre déjà K, mettons V(x1)... V(xn). Si on note alors V la réunion des V(xi) et U l'intersection des U(xi), il est clair que U et V sont deux ouverts séparant x et K (ie : U est un ouvert contenant x, V est un ouvert contenant K, et U et V sont disjoints)

On peut donc séparer un point d'un compact. Mais en recommençant le même raisonnement (à vous de travailler un peu), on voit qu'il est possible de séparer deux compacts disjoints!

Vous tenez maintenant entre vos mains la preuve qu'un espace compact est normal, non?

have fun.

[RadarX]

Yes 7-Glaives!

RadarX.