Commutateurs

par **lapras** » 02 Mar 2010, 15:45

Bonjour,
comment montrer que le sous groupe

dérivé de

(c'est à dire le sous groupe engendré par les

, où

et

permutations paires) est égal à

pour

?
Déja il suffit de montrer que tout cycle de longueur 3 est un commutateur de

. (en effet toute permutation paire étant produit de 3-cycles)
Malheureusement je n'ai que montré que

...
Merci
Lapras

par **mohn** » 02 Mar 2010, 16:15

Bonjour,

lapras a écrit: comment montrer que l'ensemble des commutateurs de (c'est à dire l'ensemble des , où et permutations paires)

Juste une remarque d'abord :

est le groupe ENGENDRÉ par les commutateurs, il ne contient donc pas seulement les commutateurs, mais aussi tous les produits finies de commutateurs (qui ne sont à priori pas des commutateurs).

As-tu déjà vu en cours que le groupe An est simple, pour n

5 ? Si oui, il suffit alors de montrer que

est normal dans An...

edit : à moins que tu parles vraiment de "l'ensemble des commutateurs", et non du groupe dérivé ? auquel cas, pour un 3-cycle (i j k), qu'as tu trouvé comme éléments x et y de Sn vérifiant

= (i j k) ?

par **lapras** » 02 Mar 2010, 18:15

Oui je voulais dire le groupe engendré.
Je ne sais pas ce que vous entendez pas "simple".
Pour votre edit, j'ai juste dit que (a,b,c)² conjugué à (a,b,c) et ca tombe directement, mais le x n'est pas pair.

par **Ben314** » 02 Mar 2010, 18:37

Salut,
Un groupe simple, c'est un groupe qui n'admet aucun sous groupe distingué autre que {1} et lui même.
Comme il est assez façile de vérifier que, quelque soit le groupe G, le groupe dérivé D(G) est distingué dans G, si en plus on sait que An est simple pour n>=5, l'exercice est plié !!!

Bon, sauf que évidement, si on sait pas que An est simple pour n>=5, c'est pas plié... :triste:

Comme An est engendré par les 3 cycles, il suffit effectivement de montrer que tout 3 cycle est dans D(An), c'est à dire est un produit de commutateurs.

Je ne comprend pas trop ce que tu veut dire par :
"j'ai juste dit que (a,b,c)² conjugué à (a,b,c) et ca tombe directement, mais le x n'est pas pair."

Sauf erreur, il faut voir le commutateur xyx^-1y^-1 comme un conjugué de y [xyx^-1] fois y^-1 et regarder ce que l'on peut obtenir si on prend pour y un trois cycle...

par **mohn** » 02 Mar 2010, 18:48

ok, euh, alors je comprends pas bien ce que tu as cherché à faire :
si tu prends x= (a,b,c) et y =(a,b,c)², on trouve

=id.
Mais ça ne montre pas que (a,b,c) est dans D(Sn)... ?

En fait ma question, c'était de savoir si tu avais trouvé, pout tout 3-cycle (a,b,c), des éléments x et y de Sn tels que

= (a,b,c), ce qui montrera qu'effectivement, (a,b,c) est dans D(Sn).
(ce n'est pas vraiment le résultat que tu veux, mais si tu trouves des transpositions x et y vérifiant l'égalité précédente, on peut se ramener très simplement dans An ensuite)

par **lapras** » 02 Mar 2010, 18:52

Salut,
Je ne sais pas non plus ce que signifie "distingué".
j'irai voir plus tard sur wiki, je vais faire la méthode des 3-cycles.
On écrit (a,b,c)²=x(a,b,c)x^(-1)
d'où
(a,b,c)²x=x(a,b,c) donc (a,b,c)=x(a,b,c)x^(-1)(a,b,c)^-1

sauf que le x est en l'occurence une transposition donc impair.

par **Ben314** » 02 Mar 2010, 18:58

Pour distingué (comme simple), laisse tomber, effectivement, ici tout peut se faire "à la main"
Par contre, je vois pas comment tu déduit quoi que ce soit sur "x" de ta dernière égalité...

L'idée n'est pas mauvaise, mais je te conseillerais plutôt (indic...) de voir x comme "une vraie" permutation c'est à dire une fonction 1->x(1) , 2-> x(2) , .... , n->x(n) et de regarder dans ce cas à quoi correspond x(a b c)x^-1 PUIS de réfléchir à quels sont les x possibles pour avoir x(a b c)x^-1=(a c b) [=( a b c)²]

(en particulier, il va exister des x pas dans An, mais il va aussi en exister dans An (si n>=5...)

par **lapras** » 02 Mar 2010, 19:01

Le x que j'ai choisi pour montrer l'égalité est une transposition car j'ai choisi :
x(a)=a, x(b)=c, x(c)=b et x(d)=d pour tout d != a,b,c
Mais on peut surement se rammener à x pair, c'est la que n>=5 doit intervenir.
Si (a,c,b)=x(a,b,c)x^(-1) on a :
x(a)=a, x(b)=c, x(c)=b
On détermine ensuite x sur {1,...,n}\{a,b,c} pour que x soit pair !
d'où l'utilité de n>=5 (i.e n-3>1)

par **Ben314** » 02 Mar 2010, 19:04

Bon, je "vend la mêche" :
Et si tu avais pris x(a)=a , x(b)=c , x(c)=b , x(d)=e , x(e)=d et x(t)=t pour tout t distinct de a,b,c,d,e (bien sûr, d et e sont deux éléments quelconques distincts de a,b,c ce qui sous entend que l'on suppose n>=5) ?

par **ffpower** » 02 Mar 2010, 19:05

oui. Il suffit de rajouter une transposition "dans le vide", genre entre d et e

edit: grillé

par **lapras** » 02 Mar 2010, 19:05

J'ai trouvé 3 sec avant que tu vendes la mèche :D

par **Ben314** » 02 Mar 2010, 19:05

lapras a écrit:Le x que j'ai choisi pour montrer l'égalité est une transposition car j'ai choisi :
x(a)=a, x(b)=c, x(c)=b et x(d)=d pour tout d != a,b,c
Mais on peut surement se rammener à x pair, c'est la que n>=5 doit intervenir.
Si (a,c,b)=x(a,b,c)x^(-1) on a :
x(a)=a, x(b)=c, x(c)=b
On détermine ensuite x sur {1,...,n}\{a,b,c} pour que x soit pair !
d'où l'utilité de n>=5 (i.e n-3>1)

EFFECTIVEMENT, et il faut au moins 2 éléments de "rab"

par **lapras** » 02 Mar 2010, 19:08

Bon bah merci à tous, j'aurais quand même pu réfléchir un peu plus avant de poster (puisqe qu'il me suffisait juste de modifier un peu x).

par **Ben314** » 02 Mar 2010, 19:08

Ce que je trouve bizare, c'est que tu fasse des groupes dérivés sans savoir ce qu'est un sous groupe distingué...
Quoi que :doh: , peut être ton prof/cours ne parle que de sous groupe "normal" ou de "sous groupe invariant" ? (c'est tout la même chose...)

par **lapras** » 02 Mar 2010, 19:09

En fait ce Dm est un DM supplémentaire, il est en lien avec le cours bien sur mais il peut y avoir des notions non vues et souvent il y a des remarques culturelles.

Commutateurs

Commutateurs

Qui est en ligne