J'ai une question concernant les différentielles exactes, leur définition et comment déterminer si c'en est une.
Le contexte : je lis le cours de relativité générale de Adler, Bazin et Schiffer et pour aborder la mécanique dans un espace de Riemann, est pris comme exemple le disque tournant.
On part d'une métrique quadratique en coordonnées cylindriques bien gentille, pour passer à celle du référentiel tournant où, nécessairement, un terme croisé en dt⋅dφ apparaît.
Pour mesurer un intervalle spatial, ce terme doit disparaître en l'absorbant dans le terme temporel, ce qui se fait à l'aide d'un autre « différentiel de temps » (terme du livre) :
cela fait disparaître le terme croisé en ajoutant un terme en dφ².
Je n'ai pas indiqué les métriques citées pour ne pas alourdir le message, car elles n'apportent rien d'utile à ma question, a priori. Mais si nécessaire, je les indiquerais.
Suit une discussion sur la définition locale d'une métrique lorentzienne au cours de laquelle est écrit :
« Observer que la différentielle dt* n'est pas exacte ; c'est-à-dire que nous ne pouvons par introduire de marqueurs t*, r, φ et z en général qui mèneraient à l'intervalle d'espace-temps [obtenu] ».
D'où ma question : en quoi dt* n'est pas une différentielle exacte ?
J'ai vu qu'il fallait que la forme différentielle s'écrive comme la dérivée d'une fonction, et que l'intégration soit indépendante du chemin.
Pour le premier point, cela me paraît correct avec
À moins que comme r est aussi une variable de la métrique, je ne dois pas considérer t*(t,φ) mais t*(t,φ,r), donc que la différentielle de f aie un terme en dr en plus.
Ou bien l'intégration dépendrait du chemin, mais là, je sèche.
Ça me paraît d'autant plus bizarre que pour moi, bien que dans le livre il ne le présente pas ainsi, ce n'est rien d'autre qu'un changement de coordonnées, c'est-à-dire qu'on est pleinement dans le sujet du livre : exprimer des invariants par changement de repère dans un espace riemanien.
Merci de m'éclairer sur ce sujet.
PS : je vois dans wikipedia qu'il y a un exemple où il est question d'un gradient. Est-ce que ça a un rapport ici ?