Coefficient de Fourier

[AceVentura]

Bonsoir.
Je bloque sur le calcul des coefficients de Fourier suivant :
Pour , on considère la fonction périodique définie sur par . Calculer les coefficients , la série de Fourier, prouver qu'il y a convergence sur et donner sa valeur en . Prouver que .

Donc
Donc par le théorème de Dirichlet sur (*)

Pour la valeur en , :hein: :hein:

Je sépare donc les cas positifs, négatifs et nulle dans ma somme (*)


Je fait le changement d'indice dans la première somme :


Donc je regroupe les séries convergentes :


Il reste à calculer :


Donc :


Donc finalement, en :


Donc :


Alors j'ai un parasite dans ma somme et l'idéal serait d'avoir :hein:

Help !
Merci

[MacManus]

Bonjour :happy3:

Il me semble (après calculs) que tu dois prouver plutôt que :
... c'est plutôt cool car celà siginifie que tu n'as pas de "-parasite" .

Tu as fait franchement le plus dur et tu bloques sur le calcul d'un bête ??

[AceVentura]

En effet ! Pas de -parasite ! En revanche, je ne vois pas ce que donne [tex}f_a(\pi)[/tex], puis la fonction n'y est pas défini :hein:

[Ben314]

Tu as un (gros) théorème (pas super façile à démontrer...) qui dit que, si f est C1 par morceaux alors la série de fourier Sf converge simplement en tout point t vers la "valeur moyenne" (f(t+)+f(t-))/2 où f(t+) et f(t-) désignent les limites à droite et à gauche de f en t.
[on peut démontrer ce résultat sur une classe un peu plus grande de fonction que celles C1 par morceau, mais ce n'est pas trés souvent fait dans les cours sur les séries de fourier]

Ici, il te suffit d'appliquer ce résultat.

[MacManus]

Oui ce n'est pas si "bête" que ça, en général le "calcul" n'est pas compliqué en lui-même, mais nécessite l'utilisation du théorème de Dirichlet que vient d'énoncer Ben314.

[AceVentura]

On a donc .

On doit donc avoir :



Cela dit, je ne vois pas pourquoi :



:hein:

[Ben314]

Non, çe n'est pas la bonne valeur : tu fait le calcul comme si on avait pour tout réel t.
Ce n'est pas le cas, ton énoncé précise bien que uniquement pour .
On peut donc utiliser la formule uniquement pour la limite à gauche en :
(et pas !!!)
Par contre, pour la limite à droite en , il faut utiliser la périodicité de f pour se rammener à la limite à droite en , limite que l'on peut ensuite calculer à l'aide de la formule :


On en déduit que :

[MacManus]

et , .
la fonction sinus s'annule pour tous les multiples de

mais c'est inutile ici

[AceVentura]

Merci, j'ai compris :)

[AceVentura]

En posant , on trouve :


La question est de savoir pourquoi peut-on dériver ?

Donc je pense qu'il faille démontrer que la série est normalement convergente sur tout compact de la forme [a,b], elle y sera alors uniformément convergente. Je trouve que et ce dernier terme est équivalent au voisinage de l'infini à qui est le terme d'une général d'une série convergente.

Est-ce correct ?

[AceVentura]

Une autre question, aurai-je pu écrire la chose suivante :

[Ben314]

Tout à fait.
En fait, on peut même directement écrire :

[AceVentura]

Parfait !
A propos de la dérivation de la série, peux-tu m'aider ?

[Ben314]

Oui, mais pas tout de suite, je vais bouffer dehors.....

[AceVentura]

Ca marche !