Coefficient de convergence d'une suite

[manu18ck]

Bonjour soit Un une suite convergente vers u
Cn=|Un+1-u|/|Un-u| -> C qd n->+infini C est le coefficient de convergence de la suite
par l'absurde on montre que si Un converge + vite que Vn alors Cu je n'arrive pas a montere la réciproque.
Connaissez vous ce théoreme? si oui merci de me dire au moins si la réciproque existe et si oui si une éventuelle démo

[yos]

Bonjour.

si Un converge + vite que Vn

Comment définis-tu ceci?

[thomasg]

Bonjour,

mon ignorance fait que je n'avais pas entendu parler du coefficient de convergence.

Cependant la définition que tu en donnes semble pour le moins incomplète,

par exemple la suite

u2n=1/2n
u2n+1=0

converge vers 0

et pour cette suite le coefficient que tu proposes n'est^pas défini (le dénominateur s'annule pour n impair).

Peux-tu préciser. Merci.

[Joker62]

Soit u_n et v_n deux suites convergeant vers L

Alors on dit que v_n converge plus vite vers L que u_n si

lim (n -> +oo) (v_n-L)/(u_n-L) = 0

C'est bien ça non ?
Enfin modulo le fait que j'ai fait une permutation de v_n et de u_n

[yos]

Merci Joker (mais tu n'as rien permuté!?)

On se ramène au cas L=0 en faisant une translation et on pose .
On a et , donc, si , où . Ce qui montre bien que .

[thomasg]

L'existence de C ne pose-t-elle pas problème ?

[yos]

L'existence de C ne pose-t-elle pas problème ?

Si bien sûr. Ce que je dis est pour des suites possèdant un tel coefficient. J'imagine que dans la pratique, on a rarement affaire à des suites qui prennent pour valeur la limite. La limite est en principe l'objet recherché et la suite est l'outil pour le trouver.
Par exemple en analyse numérique : solution d'une équation ...
Mais il y a d'autre cas : pour connaître le caratère irrationnel ou transcendant d'un réel x, on cherche une suite qui converge très rapidement vers x (cas de e ou de zeta(3) par exemple)

[manu18ck]

d'abord merci pour vos réponse
en effet C n'existe pas toujours
joker a donné la bonne définion pour Vn converge + vite que Un

cette question provient de l'exposé 57 de l'oral 1 du capes
ou on définit que si C existe et
C=0 la suite converge rapidement
0<C<1 la suite converge géométriquement
C=1 la suite converge lentement
(on montre au préalable que C[0,1] par l'absurde)

Avez vous réussi a montrer le résultat que je donne
est ce que comme moi vous séchez sur la réciproque?

merci A+

[yos]

T'as lu les réponses?