[MPSI] Coeff de Fourier

[Anonyme]

Bonjour,

Il s'agit de la dernière partie d'un problème. Voilà l'énoncé :

1) Calculer les coefficients de Fourier de la ffonction 2Pi-périodique et
paire définié par f(x) = x pour x in [0,Pi].


2) En déduire la valeur de :

inf 1
A = SUM ---------
k=0 (2k+1)^2

3) On pose

inf 1
B = SUM -----
k=1 k^2

Exprimer B en fonction de A et en déduire la valeur de B.

**********************************************************

En fait, je coince à partir de la 2). A la 1)

On apllique les formules

pi pi
1 / 1 /
an = -- | f(t) cos(kt) dt and bn = -- | f(t) sin(kt) dt
pi / pi /
-pi -pi

et je trouve que a0 = Pi, an = 0 et bn = -2cos(2nPi)/n

Meric d'avance !

[Anonyme]

> Il s'agit de la dernière partie d'un problème. Voilà l'énoncé :
>
> 1) Calculer les coefficients de Fourier de la ffonction 2Pi-périodique et
> paire définié par f(x) = x pour x in [0,Pi].
>
>
> 2) En déduire la valeur de :
>
> inf 1
> A = SUM ---------
> k=0 (2k+1)^2
>
> 3) On pose
>
> inf 1
> B = SUM -----
> k=1 k^2
>
> Exprimer B en fonction de A et en déduire la valeur de B.
>
> **********************************************************
>
> En fait, je coince à partir de la 2). A la 1)
>
> On apllique les formules
>
> pi pi
> 1 / 1 /
> an = -- | f(t) cos(kt) dt and bn = -- | f(t) sin(kt) dt
> pi / pi /
> -pi -pi
>
> et je trouve que a0 = Pi, an = 0 et bn = -2cos(2nPi)/n

Déjà, cos(2nPi)=1...
Pour la somme, on voit apparaître les carrés des coefficients de Fourier,
c'est sûrement Parseval qui est derrière tout ça.

--
Mû

[Anonyme]

Matryce a émis l'idée suivante :
> En fait, je coince à partir de la 2). A la 1)
>
> On apllique les formules
>
> pi pi
> 1 / 1 /
> an = -- | f(t) cos(kt) dt and bn = -- | f(t) sin(kt) dt
> pi / pi /
> -pi -pi
>
> et je trouve que a0 = Pi, an = 0 et bn = -2cos(2nPi)/n

La fonction f est paire, donc sans calcul, on a b_n(f) = 0 pour tout n
dans lN*.
Recommence le calcul des a_n(f).

Pense à simplifier l'expression de a_n(f) en distinguant les cas "n
pair" et "n impair" :
a_{2k}(f) = 0
a_{2k+1}(f) = (quelquechose) / (2k+1)^2

Pour la question 2, utilises le théorème de Dirichlet car on a déjà du
n^2 au dénominateur dans les coefficients de Fourier.
Si on te demandait d'en déduire la somme des "un truc avec du n^4 au
dénominateur", le théorème de Parseval aurait était la bonne méthode,
car en gros les coefficients sont au carré dans la formule de Parseval.

Cite proprement le théorème avec ses hypothèses.
Ca va te donner :
a_0/2 + somme( a_{2k+1}*cos(x), k=1..infty ) = f(x).
Applique ceci à une valeur précise de x telle que cos(x) soit non nul
(le plus simple est de prendre x=0).

[Anonyme]

Merci d'avoir répondu. En fait, j'ai recalculé an et bn mais je ne trouve
pas de résultats corrects, j'écris comment j'ai fait :

2pi
an = 1/Pi * INT tcos(nt)dt
0
2pi
= 1/Pi ( [tsin(nt)/n] - 1/n * INT sin(nt)dt )
0

= 1/Pi ( [tsin(nt)/n] -1/n*[cos(nt)/n]

Et en calculant, je trouve que ça fait 0.
Pour bn, je fais le calcul de la même manière et je trouve que ça fait -
2/n, c'est pourtant contraire au fait que si f est paire alors, bn=0.

Pourriez vous m'expliquer où sont les erreurs de raisonnements ?
Je voulais aussi savoir, comment faire pour montrer que si f est paire
alors bn = 0 et si f impaire alors an = 0.

Merci d'avance !

[Anonyme]

> La fonction f est paire, donc sans calcul, on a b_n(f) = 0 pour tout n
> dans lN*.
> Recommence le calcul des a_n(f).
>
> Pense à simplifier l'expression de a_n(f) en distinguant les cas "n pair"
> et "n impair" :
> a_{2k}(f) = 0
> a_{2k+1}(f) = (quelquechose) / (2k+1)^2

Je pense que tu t'es trompé, si les a_k étaient en O(1/k^2) la fonction f
serait C^1, or elle n'est même pas continue.


> Pour la question 2, utilises le théorème de Dirichlet car on a déjà du n^2
> au dénominateur dans les coefficients de Fourier.
> Si on te demandait d'en déduire la somme des "un truc avec du n^4 au
> dénominateur", le théorème de Parseval aurait était la bonne méthode, car
> en gros les coefficients sont au carré dans la formule de Parseval.
>
> Cite proprement le théorème avec ses hypothèses.
> Ca va te donner :
> a_0/2 + somme( a_{2k+1}*cos(x), k=1..infty ) = f(x).
> Applique ceci à une valeur précise de x telle que cos(x) soit non nul (le
> plus simple est de prendre x=0).

Justement, ce n'est pas si proprement énoncé, car dans Dirichlet la limite
n'est pas f(x) mais (1/2)*(limite à gauche en x de f + limite à droite en x
de f), ce qui est important ici car f n'est pas continue. Par contre, on a
Parseval.

--
Mû

[Anonyme]

µ a présenté l'énoncé suivant :
> Je pense que tu t'es trompé, si les a_k étaient en O(1/k^2) la fonction f
> serait C^1, or elle n'est même pas continue.

Ba écoute, je crois bien que f est continue et C1 par morceaux (et bien
entendu 2Pi-périodique).
Ce qui permet de dire que la série de Fourier de f converge normalement
sur lR vers f.

Ou alors je suis fatigué ? (ce n'est pas impossible).

[Anonyme]

>µ a présenté l'énoncé suivant :[color=green]
>> Je pense que tu t'es trompé, si les a_k étaient en O(1/k^2) la fonction f
>> serait C^1, or elle n'est même pas continue.
>
> Ba écoute, je crois bien que f est continue et C1 par morceaux (et bien
> entendu 2Pi-périodique).
> Ce qui permet de dire que la série de Fourier de f converge normalement
> sur lR vers f.
>
> Ou alors je suis fatigué ? (ce n'est pas impossible).[/color]

Oups oui, quand on lit impaire à la place de paire ça fait des erreurs...
Désolé.

--
Mû

[Anonyme]

Matryce avait soumis l'idée :
>
> 2pi
> an = 1/Pi * INT tcos(nt)dt
> 0

Pour calculer les coefficients de Fourier, il est bon de prendre le
réflexe suivant :
1/ Ecrire la formule théorique du cours, en laissant le "f(t)" tel
quel.
2/ Utiliser la relation de Chasles, et des histoires de parité ou de
changements de variable pour "simplifier" les bornes (dans notre
exemple, essayer de se ramener à une intégrale entre 0 et Pi ).
3/ Une fois qu'on a une expression de notre coefficient qui fait
intervenir uniquement des intégrales sur des intervalles sur lesquels
on connaît l'expression de f(t), on peut remplacer f(t) par son
expression sur cet intervalle.
(J'espère que mes phrases sont compréhensibles.)

Cette méthode permet d'éviter des erreurs comme celle qui consiste à
dire dans notre exemple que "pour tout t dans [0,2Pi], f(t)=t".

> Je voulais aussi savoir, comment faire pour montrer que si f est paire
> alors bn = 0 et si f impaire alors an = 0.

cos est paire, et sin est impaire.
Donc, g_n: x->f(x)*cos(nx) est de même parité que f.
En effet,
g_n(-x) = f(-x)*cos(-nx) = f(-x)*cos(nx)
= f(x)*cos(nx) = g(x) si f est paire
= -f(x)*cos(nx) = -g(x) si f est impaire.

Si f est impaire, alors
a_n(f) = int( g_n(t), t=-Pi..Pi ) = int( g_n(t), t=-Pi..0 ) + int(
g_n(t), t=0..Pi )
= - int( g_n(t), t=0..-Pi ) + int( g_n(t), t=0..Pi )
= - int( g_n(u), u=0..Pi ) + int( g_n(t), t=0..Pi ) après changement de
variable dans la première intégrale, et avec g_n impaire (ne pas
oublier le signe moins qui vient de "dt=-du")
= 0.

Je te laisse montrer de la même manière que : f est paire => les b_n(f)
sont nuls.

[Anonyme]

Après mure réflexion, µ a écrit :
> Oups oui, quand on lit impaire à la place de paire ça fait des erreurs...
> Désolé.

Pas de problème, c'est le genre d'erreur qui arrive à tout le monde,
mais du coup je commençais à ne plus être sûr de moi

[Anonyme]

D'accord ! J'ai compris mes erreurs de raisonnements !
Merci pour tout !