Polynômes avec cosinus en coeff

[aco]

Bonjour, j'ai un exercice sur les polynômes que je n'arrive pas à résoudre :

Montrer que dans R[X] le polynôme P1 = X^2 - 2Xcos(a) + 1
divise le polynôme Pn = X^(n+1)(cos(n-1)a) - X^n(cos(na)) - Xcosa + 1
pour tout n appartenant à l'ensemble des entiers naturels privé de 0, et expliciter le quotient Qn.

J'ai pensé faire un développement par récurrence sur n pour montrer que pour tout n entier supérieur ou égal à 1, Pn divise Pn+1, cela reviendrait à dire que comme p1 divise p2, que p2 divise p3 etc... p1 diviserait pn. Mais je suis bloqué dans mon raisonnement par récurrence ! Comment montrer que si Pn divise Pn+1 alors Pn+1 divise Pn+2 ?

Merci de votre aide !

[Doraki]

Est-ce que P2 divise P3 ?

Si Pn divisait Pn+1 alors tu aurais Pn+1 = (aX+b)Pn et donc Pn+1 aurait un coefficient non nul devant X², donc non.
Tu vas avoir du mal à faire ça par récurrence comme ça.
Il faut regarder ce qui se passe pour les petits n pour voir ce qui a l'air d'etre vrai et ce qui a l'air d'etre pas vrai, pour éviter de se lancer dans des preuves qui sont impossibles.

[busard_des_roseaux]

bjr,

Ce que j'essayerais de faire (non garanti):

- écrire le trinôme sous forme canonique
- l'interpréter comme le déterminant de

- introduire l'endomorphisme

-revenir ensuite des fonctions polynômes aux polynomes

[Maxmau]

Bj
Calcule les racines de P1 = X² -2cosa X +1
Montre qu’elles sont racines de Pn (n’oublie pas le cas particulier de la racine double)

[busard_des_roseaux]

Bj
Calcule les racines de P1 = X² -2cosa X +1
Montre qu’elles sont racines de Pn (n’oublie pas le cas particulier de la racine double)

ben vi, les racines sont et sa conjuguée
Elles s'élèvent très agréablement à la puissance n, grâce à la formule de De Moivre.

tu peux appliquer des formules du style

[JJa]

Bonjour aco,

Une méthode consiste à remplacer tous les cos par des exp complexes :
cos(a) = ((exp(ia)+exp(-ia))/2
cos(na) = ((exp(nia)+exp(-nia))/2
cos((n-1)a) = etc.
Tu montres alors aisément que les racines de l'équation P1(X)=0 sont exp(ia) et exp(-ia) donc :
P1 = (X-exp(ia))(X-exp(-ia))
De même, en remplacant X par exp(ia) dans Pn et après simplification aisée, on trouve Pn=0. Idem avec exp(-ia). Donc exp(ia) et exp(-ia) sont des racines de l'équation Pn(X)=0
Il suffit ensuite de mettre en facteur (X-exp(ia)) et (X-exp(-ia) dans Pn(X) pour obtenir Qn avec des exp complexes, puis de revenir aux cos pour obtenir Qn :
Qn = 1+Xcos(a)+X²cos(2a)+...+(X^(n-1))*cos((n-1)a)

[aco]

Merci beaucoup pour tous ces conseils,
mais j'ai une autre question sur ce problème :

il est précisé dans l'énoncé "montrer que dans R[X]........ "
or ici j'ai cherché les racines complexes du polynome p1 qui est en fait irréductible dans R[X], cela pose-t'il un problème ou ai-je mal compris le concept ?
Ne dois-je donc considérer que le cas où le déterminant du trinome p1 est nul et qu'il admet donc une racine double réelle ?

Merci encore

[Doraki]

C'est pas grave.
Si t'as 2 polynomes P et Q dans R[X],
P divise Q dans R[X] <=> P divise Q dans C[X]

Donc tu peux raisonner dans C[X] pour étudier la divisibilité, y'a pas de problème.

[JJa]

Bonjour,

il y a une autre facon, plus directe, de calculer Qn.
On sait que Pn est de degré (n+1) donc Qn est nécessairement de degré (n-1) puisque, multiplié par P1 de degré 2, il donne Pn.
Ecrivons Qn sous la forme :
Qn = C_0+C_1*X+C_2*X²+...+C_n-1*X^(n-1)
Multiplions Qn par 1-2X*cos(a)+X²
et identifions les coefficients obtenus avec ceux de
Pn = 1-cos(a)*X-2cos(na)*X^n+cos((n-1)a)*X^(n+1)
On obtient la suite d'équations :
C_0 = 1
C_1-2*C_0*cos(a) = -cos(a)
C_2-2*C_1*cos(a)+C_0 = 0
C_3-2*C_2*cos(a)+C_1 = 0
... etc...
C_(n-1)-2*C_(n-2)*cos(a)+C_(n-3) = 0
-2*C_(n-1)*cos(a)+C_(n-2) = -cos(na)
C_(n-1) = cos((n-1)a)
on peut ainsi calculer les coefficients C de proche en proche :
C_1 =2*cos(a)-cos(a) = cos(a)
C_2 = 2*cos(a)*cos(a)-1 = cos(2a)
C_3 = 2*cos(2a)*cos(a)-cos(a) = cos(3a)+cos(a)-cos(a) = cos(3a)
et ainsi de suite en utilisant : cos(x)cos(y)=(1/2)(cos(x+y)+cos(x-y))
Quand on arrive aux deux dernières, on les vérifie directement :
-2*cos((n-1)*a)+cos((n-2)a) = -cos((n-2)a)-cos(na)+cos((n-2)a) = -cos(na)
On a donc tous les coefficient du polynome Qn :
Qn = 1+cos(a)*X+cos(2a)*X²+cos(3a)*(X^3)+...+cos((n-1)a)*(X^(n-1))