Cloture algébrique d'un corps de fonctions méromorphes

par **Nightmare** » 09 Fév 2009, 23:10

Bonsoir bonsoir !

La suite de l'article que je lis s'intéresse aux fonctions méromorphes sur une "surface de Riemann".

On se fixe une variété différentielle complexe analytique de dimension 1 (apparemment c'est cela qu'on appelle une surface de Riemann) connexe et compacte et on considère le corps des fonctions méromorphes sur cette surface.

Question : Ce corps est-il algébriquement clos? Si ce n'est pas le cas, peut on décrire sa cloture algébrique?

Je me suis posé cette question sans trop y réfléchir, je ne suis qu'un amateur en géométrie différentielle...

par **Doraki** » 09 Fév 2009, 23:35

J'crois pas que f² = id sur C union {l'infini} ait de solution.
Pour avoir ça il faudrait des fonctions multivaluées.

par **Nightmare** » 09 Fév 2009, 23:45

Salut Doraki :happy3:

Merci de ta réponse, pourrais-tu préciser le point concernant les fonctions multivaluées?

par **Doraki** » 10 Fév 2009, 00:13

ben j'imagine qui si on voulait avoir un machin qui ressemble à une racine de la fonction x -> x,

on aurait un truc qui ressemble à
0 -> 0
x -> (+sqrt(x) ; -sqrt(x))
infini -> infini
Ca fait presque une belle sous-variété de S * S.

Après, ça fait des années que j'ai rien lu sur les sphères de Riemann, donc j'peux pas trop te dire comment on pourrait interpréter élégamment les éléments de la cloture algébrique de ce corps.

par **ffpower** » 10 Fév 2009, 00:54

Des annees?t pas vieux pourtant nan?Ct pour tes revisions pour le bac?lol
Sinon,j ai entendu parler ya pas longtemps d un truc qui s appelle les séries de Puiseux.C est un surcorps des séries formelles,qui est algébriquement clos,et c est en fait l ensemble des séries formelles en X^{1/d},pour d entier.cela dit ca reste formel,mais je crois qu il y a moyen de réévaluer ca dans C.Bon ok il reste du boulot a faire de toute facon puisqu on ne doit considérer que les séries formelles qui sont des fractions rationnelles(si on travaille sur la sphere de Riemann).En tout cas voila l article wiki:http://en.wikipedia.org/wiki/Puiseux%27s_theorem
Cela dit,c est peut etre du total HS en fait lol

par **Nightmare** » 10 Fév 2009, 01:13

C'est intéressant mais effectivement ça ne répond pas à la question vu qu'on parle de fonctions méromorphes et non analytiques !

Merci Doraki en tout cas, j'ai compris ce que tu voulais dire.

par **Nightmare** » 10 Fév 2009, 01:20

Attention cependant, je parle de surface de Riemann et non de sphère de Riemann.

Surface de Riemann > Variété différentielle du plan complexe analytique et de dimension 1

Sphère de Riemann > Compactifié d'Alexandrov du plan complexe.

(Cela dit la sphère de Riemann est une surface de Riemann compacte)

par **ffpower** » 10 Fév 2009, 01:21

oui,bon,avant d attaquer une surface de riemann quelconque,regardons des choses simples hein^^

par **Nightmare** » 10 Fév 2009, 01:25

Il me semble que le cas de la sphère de Riemann est effectivement simple, le corps des fonctions méromorphes sur

n'est autre que

ou z est l'unité de la sphère. C'est peut etre dit sur wiki, je n'ai pas lu entièrement (mon cerveau est trop fatigué pour mélanger l'anglais et les maths)

par **ffpower** » 10 Fév 2009, 01:36

En effet,mais tu connais la cloture algébrique de C(z),toi?

par **Nightmare** » 10 Fév 2009, 01:44

Non, mais au moins on connait bien

! (bon certes je réponds pas à ma question ...)

Au passage je me demande aussi pourquoi on a besoin de la connexité...

par **Nightmare** » 10 Fév 2009, 01:45

Auto-réponse idiote : pour avoir un corps...

D'ailleurs, est-ce nécessaire d'avoir une surface de Riemann connexe pour que les fonctions méromorphes y forment un corps? Si non, un contre-exemple?

par **ffpower** » 10 Fév 2009, 01:57

Ben si on a 2 composantes V1 et V2,on prend fi la fonction caractéristique de Vi,et alors f1f2=0

par **Nightmare** » 10 Fév 2009, 02:01

La fonction caractéristique sur Vi n'est pas méromorphe si je ne m'abuse.

par **Nightmare** » 10 Fév 2009, 02:03

Effectivement je m'abuse, elle l'est bien sur... Je suis fatigué le lit m'appelle. Merci pour l'attention porté au topic ffpower, nous pourrons continuer demain. Bonne nuit.

par **Doraki** » 10 Fév 2009, 11:49

En fait pour obtenir la racine carrée de (x -> x) sur une surface de Riemann S,
on a besoin de "déplier" S en une sorte de revêtement (?) T

On a bien une fonction méromorphe sur T qui correspond à la racine carrée,
Quand on la multiplie par elle même on obtient une fonction qu'on peut replier et qui retombe sur x -> x.

Et si on veut regarder sqrt(x -> x*(x+1)), ben... le dépliage est un peu plus compliqué et j'dirais a priori que c'est pas la même chose que (sqrt(x -> x)) * (sqrt(x -> x+1))

par **busard_des_roseaux** » 10 Fév 2009, 14:25

Bonjour,

je crois me rappeler (ça fait 30 ans) que les clotures algébriques,
c'est quelque chose de relativement compliqué.
Par ex, les séries formelles à coeff dans

sont un anneau intègre, elles ont leurs corps de fractions, mais la cloture algébrique
de ce corps, c'est encore autre chose, difficilement descriptible ?

la question, est-ce que la cloture d'un corps de fonctions méromorphes sur X
a un semblant d'existence géométrique ou alors c'est juste un "monstre"
(un peu comme peuvent être des monstres les bases de Hamel de

comme

-espace vectoriel))

ou alors, au contraire, on construit un revêtement de X, dans lequel cette cloture algébrique prendrait tout son sens ?

PS: google indique que S.Lang a écrit un article (non disponible) sur le corps
des fonctions méromorphes d'une surface de Riemann connexe,compacte)

par **Nightmare** » 10 Fév 2009, 19:47

Salut Busard_des_roseaux,

Oui en effet la question me semble délicate, surtout que je suis pas un professionnel en théorie de Galois. J'aimerais bien me procurer cet article de S.Lang, je vais voir si je ne le trouve pas à la biblio de l'ENS.

Cloture algébrique d'un corps de fonctions méromorphes

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