Classification

[zork]

Bonjour

Soit un corps fini de caractéristique différente de 2 et V un K-espace vectoriel de dimension finie n.
Dans une base adaptée, toute forme quadratique non dégénérée sur V a une matrice de la forme In ou
diag(1,...,1,a) avec et a non carré.

Dans la démo on procède par récurrence:
n=1 c'est bon
On suppose que le résultat est brai au rang n-1. Soient Q une forme quadratique non dégénérée sur V et une base de V orthogonale pour Q. Pour tous

Déjà une question: Pourquoi on se limite à deux vecteurs e1 et e2?

Dans la suite on montrer qu'il existe des tel que
Comme K contient (q+1)/2 carré les ensemble et sont tous deux de cardinal (q+1)/2
Comment le sait on?

Ainsi card(E)+card(F)=q+1 et par le principe des tiroirs
Comment obtient-on cette conclusion avec les tiroirs?

merci

[Ben314]

On se limite à deux parce qu'on veut montrer que l'on peut trouver une base avec des 1 sur la diagonale sauf éventuellement un non carré et que si tu réfléchi un peu, ça veut dire qu'il faut montrer que, quand on a deux éléments quelconque sur la diagonale, on peut (avec un changement de base) transformer un des deux en un 1.

Si à chaque qu'on prend UN élément sur la diagonale on pouvait le transformer en un 1, ça voudrait dire qu'on peut TOUS les changer en des 1 et ce n'est pas le cas (facile à vérifier sur un e.v. de dim 2)

S'il fallait en prendre TROIS sur la diagonale pour pouvoir en changer un en un 1, ça voudrait dire qu'à la fin il nous en resterais deux sur les bras dont on ne sait que faire et... c'est pas le cas non plus.

Donc d'en prendre EXACTEMENT 2, c'est obligatoirement ça qu'il faut faire pour prouver le résultat.

Ensuite, concernant le nombre de carrés dans Fq, il suffit de se poser la question : si un élément y donné est un carré, il est le carré de combien d'élément distincts ?

Pour les tiroirs, c'est niveau... Math Sup (maternelle supérieure) : J'ai un tiroir avec 10 stylo. Il y a 7 stylos à bille (les autres à encre) et 4 stylo bleus (les autres rouges). Vu que 7 + 4 > 10 tu en déduit quoi ?