Classification groupe d'ordre 12

[syrella]

bonjour
ces questions mon bloqué
soit G groupe d'ordre 12 et H =<y> d'ordre 3 et distingué dans G
1 comment montrer que ordre de G(y) stabilisateur est egal a 6 sachant qu'on a une action par conjugaison de G sur H
2 soit z d'ordre 2 et <x> d'ordre 6 et G isomorphe a <x>*<z> * produit semi direct
verfier que aut(Z/6Z)={id. t} avec t(1)=5
3 en deduire que G isomorphe a <x> *<y> * produit direct ou a D6
merçi d'avance

[Robot]

1 Quelle est l'orbite de y ?
2 Le groupe des automorphisme de est isomorphe au groupe multiplicatif des inversibles de
3 Dans le cas où on a un produit semi-direct , il n'y a que deux possibilités pour l'action de sur : la triviale, et l'autre (voir le point 2).

[syrella]

1- G.y = { gyg-1 / g appartient G}
stabilisateur G(y) = { g apprtient a G / gyg-1=y] donc gyg-1 appartient a <y> donc soit gyg-1=y² ou gyg-1=y ou gyg-1=e
2 si aut (Z/6Z)= id donc on obtient un produit direct

[Robot]

Pour l'orbite de , je ne te demandais pas la définition, mais une description plus précise. En particulier, son nombre d'éléments.

n'est pas réduit à l'identité !

[syrella]

on a G.y inclu dans H et puisque ordre de H est 3 donc card (G.y)= 1 ou 2 ou 3 et puisque ordre G est 12 donc card(G(y)) soit egal a 12 ou a 6 ou a 4 mais comment savoir que c'est egal a 6 ?

[Robot]

L'orbite de est la classe de conjugaison de , et elle est contenue dans puisque est distingué. OK. Mais est-ce que peut être conjugué à l'élément neutre ?
Maintenant, tu ne nous a pas dit si agit trivialement ou pas sur . S'il n'agit pas trivialement, ça ne laisse pas beaucoup de choix sur le cardinal de l'orbite, et donc non plus sur le cardinal du stabilisateur de .

[syrella]

si je dit que H cyclique H=<y> donc on a y=y² ce qui implique
gyg-1=gy²g-1 donc G.y=G.y² donc ordre de H= ordre (G.y)+1 puisque ordre de H c'est 3 donc ordre (G.y)=2
donc ordre du stabilisateur c'est 6
est ce que c'est juste ce que j’écris ?

[Robot]

Non, ce n'est pas juste : qu'est ce que c'est que cette histoire de ?

[syrella]

tu as raison ,c'est faux ce que j'ai écris