[MP] Choix d'un déterminant.

[euler21]

Bonsoir
Dans un problème de concours (CNC 2001) On demande à caractériser les matrices tels que le degré du polynôme minimal soit égal à n-1. (n étant bien sûr la dimension de l'espace vectoriel). On montre qu'elles sont semblables à une matrice compagnon complétée par une colonne.
Dans le cas de R, on demande à justifier que l'on peut choisir la matrice de passage P avec un déterminant strictement positif.
Voici le lien du problème http://www.dfc.gov.ma/dfc/images/pdf/MP2-01.pdf
Et c'est la question 3 à la fin de la deuxième partie.
Merci d'avance pour vos réponses et indications :mur:

[Finrod]

Si tu as fait la question 2), on y change de base pour trouver une matrice de la forme voulue.

La 3) est là juste pour vérifier que ceux qui ont fait la 2) ont compris ce qu'ils faisaient.

bon pour le coup du det>0, faut voir comment tu construit la base à la fin du 2) si c'est le cas de R. J'imagine qu'on peut choisir ce truc là, même si la question 2, à 22h, je suis pas partant pour la faire.

[euler21]

salut
au fait je pense qu'il suffit juste de changer la dernière la base en mettant -xo à la place de puisque la dernière colonne va être multipliée par un signe moins et donc si detP<0 avec ce changement on peut obtenir une matrice de passage ayant un déterminant positif.
J'espère que c'est correct :hum:

[Finrod]

logique en fait, oui.

faut juste vérifier que la matrice de u reste sous la forme (1), mais ça doit pas poser problème.

[euler21]

oui oui elle reste puisque est valeur propre :++: