Choix de contour dans le théorème des résidus

[marawita1]

Bonjour,

J'ai des difficultés dans le choix de contour convenable pour calculer une intégrale en utilisant le théorème des résidus.

1) Y-a-t-il une technique à suivre dans le choix de contour? Pour calculer une intégrale, peut-on choisir

différents contours?

2) Par exemple, quels sont les contours à choisir pour calculer les intégrales suivantes:

a)

b)


Merci bien d'avance.

[Ben314]

Salut,
Comme toujours en math., il y a plusieurs solutions, souvent plus ou moins malines.
Ici, la donnee de depart est une integrale sur [0,+oo[ sur lequel ne s'applique pas directement le theoreme des residuts pour deux raisons :
- [0,+oo[ n'est pas borne. Mais ca, c'est pas vraiment un probleme, il suffit de considerer a la place [0,M] et a la fin on fera tendre M vers +oo.
- ce n'est pas un lacet mais un "aller simple" de 0 à M donc il faut inventer le retour de M à 0. Vu la tête des deux fonctions qui restent (plus ou moins pour la deuxième) inchangées quand on remplace z par oméga.z où oméga est une racine n-ieme de l'unité, ben sa semble pas contre de faire le retours sur le segment [0, oméga.M] sur le que l'intégrale sera presque égale à celle de départ. Et pour relier M à oméga.M, le plus simple (et le plus classique) c'est un arc de cercle. Sur cet arc l'intégrale n'aura pas grand chose à voir avec celle de départ, mais avec le M qui tend vers l'infini, on voit facilement que ce morceau va tendre vers 0.

[marawita1]

@ Ben 314, merci beaucoup pour votre réponse. Si j'ai bien compris le lacet sera

[0, M] U {l'arc de cercle joignant M à omega.M} U [ omega. M, 0]. C'est correct?

J'ai pas bien compris cette phrase " Vu la tête des deux fonctions qui restent (plus ou moins pour la deuxième) inchangées quand on remplace z par oméga.z où oméga est une racine n-ieme de l'unité, ben sa semble pas contre de faire le retours sur le segment [0, oméga.M] sur le que l'intégrale sera presque égale à celle de départ".

Peut-on utiliser le contour [0, M] U [M, omega.M ] U [ omega. M, 0], c'est à dire le lacet est un triangle ?

ou bien le contour [0, M] U { l'arc de cercle joignant le point A=(M,0) à B= (0, M) } U [B ,0] ?

Pour calculer la deuxième intégrale, utilise-t-on le même contour que vous avez proposé?

[Ben314]

Desole, je suis sur telephone qui vomplete de facon saute et grenue ce que je tape.
Bref ce su'il faut voir c'est qu (omega.z)n=z^n donc que l'inetegrale sur le segment [0,omega.M] donera quasi la meme chose que sur le segment [0,M].

Concernant la facon dont tu relie M a omega.M, ca a pas beaucoup d'importance vu que l'integrale sur ce morceaux va tendre vers 0 lorsque M tend vers +oo. Essaye les deux options (segment ou arc de cercle) pour voir. A mon avis c'est legerement plus simple a ecrire avec l'arc de cercle.

Par contre de passer par B(0,M) (j'aurais plutôt écrit B=iM : on est plutôt dans C que dans R2) je pense pas que ça donne grand chose vu que l'intégrale se la fonction sur le segment [0,B] n'aura pas bien de lien avec celle sur [0,M].
Bref, il faut pas choisir le lacet au pif, mais en lien avec la fonction a intégrer.

Et concernant la deuxième integrale, je pense que le même lacet fonctionne (et il faudra San doute utiliser le résultat du a))

[marawita1]

Merci beaucoup Ben314 pour vos explications.

Pour la deuxième intégrale, le zéro pose-t-il un problème pour la fonction logarithme?

Faut-il s’éloigner de zéro ? ou ça pose pas un problème.

[Ben314]

Fondamentalement, ça dépend de tes connaissances :
La deuxième intégrale, elle a un problème en zéro (la fonction a intégrer tend vers l'infini) mais en fait l'intégrale est convergente (pourquoi ?) donc il n'y a pas vraiment de problème et, si on sait que c'est licite, on peut parfaitement intégrer jusqu'à zéro pile poil.
Mais si on veut être sûr de ne pas "inventer" un résultat il est effectivement plus prudent d'intégrer sur les segments [epsilon,M] et [oméga. M,oméga.epsilon] en utilisant deux arcs de cercles pour les relier puis en montrer que les intégrales sur ces arcs tendent vers 0 lorsque M ->oo et epsilon->0.

[marawita1]

Merci beaucoup Ben314