Carré de la norme non lipschitzienne

[allmess]

Bonjour,
je n'arrive pas à montrer que qui applique de n'est pas lipschitzienne, mais qu'elle l'est sur un ensemble borné.. A vrai dire c'est le premier exercice que j'aborde dans ce genre et je n'ai donc pas dutout la technique..
Merci d'avance!

[allmess]

Par exemple, est ce que ce qui suit est correcte?
On prend et ; alors , d'où f n'est pas lipschitzienne...

[Doraki]

Euh tu veux dire quoi par "tend vers l'infini" ?

Sinon oui c'est à peu près ça.

[allmess]

Merci beaucoup pour ta réponse!
Pour x qui tend vers l'infini, IIxII tend vers l'infini.. Si ça a un sens de dire que x tend vers l'infini...

[Doraki]

Certes, lorsque ||x|| tend vers l'infini, ||x|| tend vers l'infini aussi.

Pour montrer qu'une fonction n'est pas lipschitzienne, il faut montrer qu'elle n'est pas k-lipschitzienne pour aucun k> 0.
Le mieux c'est de sortir directement un contre-exemple pour chaque k,
donc dans ton cas il suffit de sortir (pour chaque k) un y dont la norme est > k, comme ça tu auras |f(x0)-f(y)| / ||x0-y|| = ||y||²/||y|| = ||y|| > k, et donc f ne peut pas être k-lipschitzienne.

[allmess]

Merci!
mais alors comment faire si l'on se place sur un ensemble borné? Car alors llxll<N avec N donné... Mais cela suffit il?

[Doraki]

Ben non, il faut que tu montres que pour tout N, il existe une contante mystérieuse K(N) telle que pour tout x,y, si ||x||, ||y|| <= N alors |f(x)-f(y)| <= K(N) * ||x-y|| (c'est à dire | ||x||²-||y||² | <= K(N) * ||x-y||.

Là vu la tête de la fonction ça serait pas idiot de faire ça en deux étapes,
et de montrer qu'il existe des constantes K1 K2 (qui dépendent de N),
telles que si ||x||, ||y|| <= N alors | ||x||²-||y||² | <= K1 * | ||x||-||y|| | et | ||x||-||y|| | <= K2 * ||x-y||.

[allmess]

Super, merci,
Alors: L'ensemble étant borné, il existe M tel que pour tout x, y de l'ensemble, IIxll,llyll<=M
On a . Or , aussi . Et on démontre facilement que . D'où le résultat..
Un grand merci pour ton aide!