Calcul d'une limite

[goudou]

Bonjour à tous !

Je bloque depuis 1h sur le calcul d'une limite.
Je vous énonce le sujet :

Soit f:R²-> R définie par f(x,y)=(x²y)/(x-y) si x différent de y
f(x,y)=x, si x=y.

On doit d'abord étudier la continuité de f au point (1,1), donc chercher si la limite quand (x,y)->(1,1) de f(x) = f(1,1) = 1.
J'ai cherché à prouver que cette limite n'existe pas en prenant 2 chemins différents : en prenant y=-x la limite = -1/2, et en prenant x=y+y², la limite = 4.
Donc la limite en (1,1) n'existe pas, donc la fonction n'est pas continue en (1,1)

On doit ensuite étudier la continuité en (0,0), et je précise aussi que la question suivante est "Montrer que les dérivées partielles df/dx(0,0) et df/dy(0,0) existent", donc je sais que la fonction est continue en (0,0) ... Cependant, je n'arrive pas à le montrer !! J'ai essayé de majorer avec le théorème des gendarmes, mais je reste bloquée à cause de mon dénominateur !
Pourriez vous juste me donner une méthode pour trouver cette limite ? Merci !

[Joker62]

Haileau ;)

Hum, je dirais, Coordonnées polaire ?

[goudou]

=/
Je sais que cette méthode existe, mais dans mon groupe de TD, nous ne l'avons pas étudiée !!

Nous avons juste vu soit les 2 chemins différents pour montrer qu'une limite n'existe pas, soit l'encadrement par le théorème des gendarmes pour la trouver ...

[Black Jack]

Bonjour à tous !

Je bloque depuis 1h sur le calcul d'une limite.
Je vous énonce le sujet :

Soit f:R²-> R définie par f(x,y)=(x²y)/(x-y) si x différent de y
f(x,y)=x, si x=y.

On doit d'abord étudier la continuité de f au point (1,1), donc chercher si la limite quand (x,y)->(1,1) de f(x) = f(1,1) = 1.
J'ai cherché à prouver que cette limite n'existe pas en prenant 2 chemins différents : en prenant y=-x la limite = -1/2, et en prenant x=y+y², la limite = 4.
Donc la limite en (1,1) n'existe pas, donc la fonction n'est pas continue en (1,1)

On doit ensuite étudier la continuité en (0,0), et je précise aussi que la question suivante est "Montrer que les dérivées partielles df/dx(0,0) et df/dy(0,0) existent", donc je sais que la fonction est continue en (0,0) ... Cependant, je n'arrive pas à le montrer !! J'ai essayé de majorer avec le théorème des gendarmes, mais je reste bloquée à cause de mon dénominateur !
Pourriez vous juste me donner une méthode pour trouver cette limite ? Merci !

Pour la lim en (1,1), tu ne peux pas prendre les chemins que tu proposes...
Puisque aucun de ces 2 chemins ne passe par le point (1;1).
Mais il suffit de faire la limite directement, il n'y a pas d'indétermination.



:zen:

[goudou]

Je ne vois pas comment calculer la limite directement, car si (x,y)->(1,1), on a le dénominateur qui tend vers 0 ...

[Doraki]

On doit d'abord étudier la continuité de f au point (1,1), donc chercher si la limite quand (x,y)->(1,1) de f(x) = f(1,1) = 1.
J'ai cherché à prouver que cette limite n'existe pas en prenant 2 chemins différents : en prenant y=-x la limite = -1/2, et en prenant x=y+y², la limite = 4.

Il faut pas que les chemins passent par (1,1) ?

[goudou]

Oups, je n'ai rien dit !! La limite est l'infini, en effet !

Mais pour la lim en (0,0), ça ne marche pas ...

[dudumath]

Personnellement je passe par les coordonnées polaire, c'est la méthode la plus efficace il me semble...

[goudou]

Arf je ne l'ai pas vue !

J'ai essayé de majorer avec la valeur absolue de f(x), mais je ne sais pas comment majorer mon |x-y| !!

Bon ben je verrais de mon côté la méthode des coordonnées polaires !