Calcul d'une limite

[ludo60]

Bonjour à tous, dans un exercice, on propose en déterminant un équivalent du numérateur et du dénominateur de déterminer la limite en de la fonction .

Merci pour votre aide

[FLBP]

Salut,
Puisque rien ne s'annule et que mise à part le rien ne pose problème tu as :
"" .
Cordialement.

[ludo60]

Alors je suis vraiment désolé, j'étais fatigué hier et je viens de me rendre compte que la limite demandée est en plus l'infini...

Note: j'ai modifié le premier message pour éviter toute confusion

[zygomatique]

éventuellement poser x = 1 / t ...

[ludo60]

Bonjour et merci pour ta réponse. J'ai tenté mais n'aboutit pas du tout.

J'ai également explorer la piste suivante concernant le numérateur:

Je factorise ainsi: .

Ainsi, en utilisant les règles du logarithme, j'aboutis à un numérateur égal à .

Le fait qu'il y ait des simplifications et que l'on peut donner un équivalent simple à me laisse espérer que je suis sur une voie sympathique. Mais le 2lnx m'embête...

[Kolis]

Bonjour !
Pour le numérateur tu as


Tu as un équivalent simple en pour chaque facteur et tu les multiplies.

Pour le dénominateur tu as .
Le premier terme a une limite finie et il faut savoir que si a une limite nulle, est équivalent à .

[ludo60]

Bonjour ! Je te remercie pour cette réponse détaillée

Je suis encore bloqué pour le facteur de droite... J'ai bien en tête que, est équivalent à en mais je suis de nouveau gêné par le d'autant plus que la relation d'équivalence n'est pas compatible avec l'addition...

[Ben314]

Effectivement, mais quand tu ajoute deux trucs dont l'un tend vers l'infini et l'autre vers 0, tu aurais pas un soupons de début d'intuition de à quoi est équivalent la somme des deux ?
Peut tu démontrer que c'est effectivement le cas ?

Et de façon plus générale, lorsque tu ajoute deux trucs dont un des deux et très nettement plus grand que l'autre, la somme c'est à peu prés égal à quoi ?
Et en termes plus mathématiques, si g=o(f), à quoi est équivalent f+g ?

[ludo60]

D'accord, le numérateur est équivalent à 2lnx... J'étais obnubilé par le équivalent à ...
J'essaie d'avancer

[ludo60]

Donc, le numérateur est équivalent à qui tend vers en .

Concernant le dénominateur, en m'appuyant sur vos commentaires, j'obtiens .

Le facteur de gauche tend vers 1 et celui de droite vers 0^+.
Donc, la limite est .

C'est tout bon ? Merci encore pour votre aide précieuse.

[ludo60]

Mince, dans la précipitation, j'ai oublié le facteur de gauche du numérateur... Du coup je tombe sur une forme indéterminée 0/0...

[Kolis]

C'était prévisible.
Je t'ai donné une méthode : prendre un équivalent de ...

[ludo60]

Je tente mais m'embourbe...

Le dénominateur est équivalent à et le numérateur à . Je transforme comme je peux, je tombe toujours sur des formes indéterminées

[zygomatique]

sans savoir si c'est exact mais tu n'as aucune forme indéterminée

par exemple

et il suffit de retourner en terminale pour se rappeler que ...

mais il y a un pb pour effectuer le quotient de ces deux nombres ... (enfin chercher la limite)

[ludo60]

Oui, c'est la limite du quotient que je cherche. Le numérateur tend vers 0 ainsi que le dénominateur. Je cherche à transformer l'écriture afin de lever l'indétermination.

[Ben314]

Et au numérateur, tu as une fois de plus affaire à du f+g où g=o(f)