par Ben314 » 17 Nov 2013, 13:09
Pour moi, les définition (dans un anneau euclidien A), c'est ça :
1) Une matrice carrée r x r P est dite unimodulaire lorsque son déterminant est un élément inversible de A (<=> P est inversible dans Mr(A) )
2) Une matrice s x r D est dite sous forme réduite de Smith si ses seuls coefficients non nuls sont les di en position (i,i) pour i=1,..., k;)inf(r,s) , et si d1 | d2 | ... | dk.
3) Une réduction de Smith de la matrice M de type s x r est donnée par une matrice D sous
forme réduite de Smith et deux matrices unimodulaires P de type r x r et Q de type s x s vérifiant :
Q.M.P = D
Comme les matrices carrées diagonales avec des éléments inversibles de A sur la diagonale sont unimodulaires, les "di" de ta Réduite de smith ne sont connus qu'à un inversible prés.
A la rigueur, tu peut restreindre la définition de "unimodulaire" et n'autoriser que des matrices de déterminant =1 ce qui permet de conserver le déterminant : det(M)=det(D), mais ça change quasi rien vu que dans une matrice diagonale r x r avec des inversibles sur la diagonale, pour que le déterminant fasse 1, tu peut quand même prendre ce que tu veut pour les r-1 premiers termes de la diagonale.
Donc ça ne rendra absolument pas les "di" de la réduite de Smith uniques : le seul nouvel invariant que tu aura, c'est que le produit des "di" sera exactement égal au déterminant de M (alors qu'avec la méthode "usuelle", il n'est égal au déterminant de M qu'à un inversible prés...)
Enfin, si tu travaille uniquement sur l'anneau A=Z, la phrase "au produit par un inversible prés", ça veut effectivement dire "au signe prés" et donc si ça t'amuse, tu peut décider que tu prend systématiquement les di positifs.
Idem pour les anneaux de polynômes où "au produit par un inversible prés", ça veut dire "à multiplication par un scalaire non nul prés" et donc on peut décider de prendre pour les "di" des polynômes unitaires.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
