[Licence] Calcul diff bis

[Anonyme]

Bonjour

Soient E_1 , E_2 , F des e.v.n. et soit une application
f : E_1 x E_2 --> F partout différentiable.

Soit M = (a,b) un point de E_1 x E_2

Je note f_1,b et f_2,a la première et la seconde
applications partielles de f au point M.

La première différentielle partielle de f en M est par
définition la différentielle en a de f_1,b.

On pourrait noter cela : d_1 f(M) = d f_1,b(a)
C'est une application linéaire de E_1 dans F.

Question : est-elle égale à la première application
partielle de d f(M) ?

Merci, Pierre

[Anonyme]

On Tue, 22 Jun 2004 12:21:50 +0100, Pierre Capdevila wrote:
>Bonjour
>
>Soient E_1 , E_2 , F des e.v.n. et soit une application
>f : E_1 x E_2 --> F partout différentiable.
>
>Soit M = (a,b) un point de E_1 x E_2
>
>Je note f_1,b et f_2,a la première et la seconde
>applications partielles de f au point M.
>
>La première différentielle partielle de f en M est par
>définition la différentielle en a de f_1,b.
>
>On pourrait noter cela : d_1 f(M) = d f_1,b(a)
>C'est une application linéaire de E_1 dans F.
>
>Question : est-elle égale à la première application
>partielle de d f(M) ?

Non, car la première application partielle de df(M) a un argument fixe,
l'ordonnée du petit déplacement et un argument libre, son abscisse
tandis que dans ton autre construction, l'ordonnée du petit déplacement
n'intervient pas.

En fait, c'est une histoire de composition. Soit h_b l'application
x -> (x, b). Alors f_1,b est f o h_b. Donc la différentielle
de f_1,b en a, en x est :
df_1,b(a)(x) = d(f o h_b)(a)(x) = (df(h_b(a)) o dh_b(a)) (x)
= df(a,b)((t -> (t, 0)) (x))
= df(a,b)(x,0)

Ainsi, la relation entre tout ce beau monde est:

df(a,b) = df_1,b(a)(x) + df_2,a(b)(y)

Elle est pas belle, la vie ?

--
Frédéric

[Anonyme]

Frederic a écrit
> Non, car la première application partielle de df(M) a un argument fixe,
> l'ordonnée du petit déplacement et un argument libre, son abscisse
> tandis que dans ton autre construction, l'ordonnée du petit déplacement
> n'intervient pas.
>
> En fait, c'est une histoire de composition. Soit h_b l'application
> x -> (x, b). Alors f_1,b est f o h_b. Donc la différentielle
> de f_1,b en a, en x est :
> df_1,b(a)(x) = d(f o h_b)(a)(x) = (df(h_b(a)) o dh_b(a)) (x)
> = df(a,b)((t -> (t, 0)) (x))
> = df(a,b)(x,0)
>
> Ainsi, la relation entre tout ce beau monde est:
>
> df(a,b) = df_1,b(a)(x) + df_2,a(b)(y)

Merci beaucoup pour cette explication. N'est-ce pas ce qu'on
appelle la "différentielle totale" ?

Y-a-t-il une relation du même type pour les différentielles partielles
secondes ?

J'abuse !

Merci

[Anonyme]

On Tue, 22 Jun 2004 14:12:02 +0100, Pierre Capdevila wrote:[color=green]
>> Ainsi, la relation entre tout ce beau monde est:
>>
>> df(a,b) = df_1,b(a)(x) + df_2,a(b)(y)
>
>Merci beaucoup pour cette explication. N'est-ce pas ce qu'on
>appelle la "différentielle totale" ?[/color]

Peut-être, je ne sais pas, je suis loin d'être un expert en calcul
différentiel.

>Y-a-t-il une relation du même type pour les différentielles partielles
>secondes ?

Beuh... Elle ne te convient pas, la formule que l'on obtient en
différentiant la précédente ? Je ne vois pas trop ce qu'on pourrait
obtenir de mieux. Si tu as une piste, je suis preneur.

>J'abuse !

Mais non, comme ça je ne me rouille pas trop...

--
Frédéric