Calcul dans un triangle quelconque

[Clafoutis]

Bonjour,

Je suis bloqué sur un calcul dans le cadre d'un projet et je pense qu'il existe une solution analytique à la question, cependant impossible de mettre le doigt dessus après y avoir passé quelques heures de réflexion et de recherche.

J'ai un triangle quelconque donc je connais un angle et la longueur de 2 côtés. Il est donc à mon sens complètement défini et Al-Kashi permet de trouver le reste des longueurs et angles. Je souhaite calculer la longueur d'un segment quelconque issu d'un sommet du triangle et qui se termine sur l'arête opposé. Je précise que je connais l'angle que forme ce segment avec un des côtés du triangle.

Voilà, j'ai trouvé les expressions de la bissectrice, de la médiane et de la hauteur mais pas moyen de trouver une formule pour un segment quelconque. J'ai bien des idées pour approcher la valeur mais je pense qu'il doit existe une relation qui permet de définir exactement la longueur.

Merci pour votre aide.

[L.A.]

Bonjour,

Qui dit problème mélangeant des angles et des longueurs dit trigonométrie, l'exemple étant la formule d'Al-Kashi que tu cites. Mais qui dit trigonométrie dit aussi triangle rectangle.

Pour t'en sortir, je pense que tu dois considérer la hauteur qui t'arrange (celle qui est issue du même sommet que ton segment), calculer tous les angles au niveau de ce sommet par la règle des 180°, puis utiliser la trigonométrie plusieurs fois.

[GaBuZoMeu]

Si je comprends bien ton problème, dans la figure ci-dessous tu connais l, m, , et tu voudrais calculer p ?



Si c'est ça, je peux te vendre une belle formule qui donne p.
Dis-moi si c'est bien ce que tu cherches.

[Clafoutis]

Yep c'est exactement ça Gabu

[GaBuZoMeu]

Il suffit d'écrire que les points de coordonnées , et sont alignés. Ça te suffit comme indication ?

[Clafoutis]

Là comme ça, je passerais par des relations vectorielles mais j'ai la flemme.

Sinon je devrais pouvoir m'en sortir avec la hauteur issue du sommet comme suggérée par LA, mais flemme aussi.

Si tu as une formule toute faite, je la veux bien ça m'économisera du temps... Sinon je ferai les calculs demain ^^

[GaBuZoMeu]

Ah ben moi j'ai la flemme aussi. Après tout, c'est toi qui est demandeur. Alors ma jolie formule, je me la garde. Na !

[Clafoutis]

Trouvé, j'aimerais poster l'équation mais l'éditeur plante chez moi quand je veux insérer.

p = \frac{l.m.sin(\alpha)}{l.sin(\beta)+m.(cos(\beta)sin(\alpha)-sin(\beta)cos(\alpha)) }

Merci pour l'aide.

[L.A.]

Point tatillon : la formule serait plus jolie en utilisant , on aurait au numérateur et au dénominateur.

[GaBuZoMeu]

C'est bien d'être sorti de ta flemme, Clafoutis. Tu aurais pu effectivement remarquer que .

[Clafoutis]

ok

[GaBuZoMeu]

La relation entre les différentes grandeurs en jeu prend la forme agréable :



Sous cette forme, ça m'a inspiré une question posée sur les-mathématiques.net.
Ma démonstration préférée consiste à voir le résultat comme cas particulier d'un résultat presque trivial dans l'espace de dimension 3.