Calcul d'un cosinus

[mehdouche]

bonjour, cela fait quelques heures que je suis sur une question de math:
a=2pi/5

montrer que cos(a)+ cos(3a) est egal à un nombre rationnel assez simple.
merci davance

[COTLOD]

On peut utiliser l'expression de . On calcule grâce à une formule classique du cosinus.
Pour établir la première expression c'est plus difficile. Cela est lié aux racines 5-ièmes de l'unité, elles vérifient l'équation le membre de gauche se factorise en qu'on factorise encore par . Ensuite on opère le changement de variable et on se retrouve à résoudre l'équation . On remarque que puisque , d'où . Voilà pour les grandes lignes.