Bornitude

par **jeje56** » 16 Fév 2010, 12:12

Bonjour,

Je veux montrer que toute fonction T périodique et continue sur R est bornée sur R, je dis :

1) f est continue sur sa période donc bornée sur sa période ;
2) f est en fait bornée sur tout intervalle de longueur T et donc bornée sur R...

Le deuxième point est-il juste ? Je n'arrive pas trop à m'en convaincre...

Merci !

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 13:32

Salut !

Oui c'est exact, parce qu'une fonction continue sur un compact a le bon goût d'y être bornée !

par **Doraki** » 16 Fév 2010, 14:45

Où utilises-tu le fait que la fonction est périodique ?

par **jeje56** » 16 Fév 2010, 15:55

Pour l'implication : 1) implique 2)...

par **Doraki** » 16 Fév 2010, 16:23

"f est bornée sur tout intervalle de longueur T", ça c'est vrai de n'importe quelle fonction continue non ?

par **jeje56** » 16 Fév 2010, 17:19

J'avoue... La périodicité implique que la borne est la même sur tous ces intervalles de longueur T c'est ça ?

En fait j'ai du mal à me représenter tout ça...

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 17:54

Ta fonction est majorée en valeur absolue par un certain M sur un intervalle du type [x,x+T], disons [0,T]. Le fait qu'elle soit T périodique implique que M la majore en valeur absolue sur R tout entier puisque pour un y réel donné, par périodicité |f(y)| égal un certain |f(z)| avec z dans [0,T] qui est donc majoré par M.

par **jeje56** » 16 Fév 2010, 18:09

Dac, donc la borne sup sur chaque intervalle de longueur T est la même ?

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 18:40

C'est plus qu'une borne sup, c'est un maximum même.

par **jeje56** » 16 Fév 2010, 18:48

Exact ! Merci Nightmare

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