Base de Sylvester

[Marcet003]

Bonjour,

J'ai l'énoncé suivant.
Si (V, g) un espace euclidien, avec g le produit scalaire associé, alors une base de Sylvester est une base orthonormée.

Je peux supposer spdg. que g est symétrique. J'applique alors le thm. spectral qui me garantit que g est orthogonalement congruente à une matrice diagonale. Sachant que la relation de congruence représente pour une forme bilinéaire un changement de base, j'ai une base orthonormée où g est diagonale. Mais je ne sais pas si la base en question est une base de Sylvester, car à priori je n'ai pas unicité de la forme diagonale pour g...

Je ne vois pas non plus la pertinence du fait que V soit euclidien. Est-ce que ce serait faux dans un espace pseudo- euclidien par exemple ?

Merci d'avance,...

[ComeDuRondeau]

Bonjour,

Le théorème spectral affirme qu'une matrice symétrique (ou un endomorphisme autoadjoint) est diagonalisable dans une base orthonormée. C'est d'ailleurs pour cela que les changements de base correspondent à une relation de congruence car les colonnes de la matrice de changement de base forment une base orthonormée donc (son inverse est la transposée).

Puisque le théorème spectral est vrai pour toute matrice symétrique, si est seulement symétrique (pas forcément positif ni défini) alors on peut tout de même le diagonaliser en base orthonormée mais pour cela on a quand même besoin d'avoir une structure d'espace euclidien pour que le fait que soit symétrique ait un sens, i.e. ou que la notion d'orthogonalité d'une base ait un sens...

Peut-être qu'il y a une confusion au niveau du fait que si est symétrique défini positif dans un espace euclidien alors définit un nouveau produit scalaire sur ?

[Marcet003]

Merci pour ta réponse.

En fait, par le thm. spectral on peut trouver une base orhtogonale de vecteurs propres pour toute matrice symétrique de l'espace réel. Il est ensuite suffisant d'avoir un espace euclidien pour que la base de Sylvester soit une base orthonormée, car un espace euclidien est muni d'un produit scalaire qui est defini positif et donc il est toujours possible de normer les vecteurs propres pour Q la forme quadratique associée au produit scalaire.

Pour un espace pseudo euclidien non euclidien, la forme Q est non dégénérée mais ni positive, ni negative, (car sinon c'est un produit scalaire et l'espace est euclidien). La signature de Q est alors (p,q) avec q >= 1 et une il n'existe pas de base orthonormée pour Q mais seulement une base orhogonale.

[ComeDuRondeau]

Merci pour ta réponse.

En fait, par le thm. spectral on peut trouver une base orhtogonale de vecteurs propres pour toute matrice symétrique de l'espace réel. Il est ensuite suffisant d'avoir un espace euclidien pour que la base de Sylvester soit une base orthonormée, car un espace euclidien est muni d'un produit scalaire qui est defini positif et donc il est toujours possible de normer les vecteurs propres pour Q la forme quadratique associée au produit scalaire.

J'ai l'impression qu'il y a quelques confusions dans l'ordre dans lequel on considère les objets. Lorsque tu dis qu'une matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthogonale c'est qu'on a déjà une structure d'espace euclidien. Il s'agit de muni du produit scalaire usuel.

Lorsque tu considères un espace euclidien quelconque et que tu fixes une base orthonormée (par exemple avec Gram-schmidt) alors tu as une isométrie qui te permet d'identifier les endomorphismes autoadjoints de comme des matrices symétriques ; il s'agit simplement de la matrice de ces endomorphismes dans la base choisie.

Pour un espace pseudo euclidien non euclidien, la forme Q est non dégénérée mais ni positive, ni negative, (car sinon c'est un produit scalaire et l'espace est euclidien). La signature de Q est alors (p,q) avec q >= 1 et une il n'existe pas de base orthonormée pour Q mais seulement une base orhogonale.

Dans ce cas le théorème est faux. Si tu considère muni de la forme bilinéaire symétrique de forme quadratique de signature alors les endomorphismes autoadjoints correspondent aux matrices de la forme . Maintenant si tu considère n'importe quelle rotation d'angle sa matrice est de cette forme et ces rotations ne sont jamais diagonalisables (pas de droite stable). Donc aucun espoir d'avoir un analogue du théorème spectral sans la positivité.