Autour de racine de 2

par **mathador** » 06 Juil 2005, 17:28

Bonjour ! j'ai pensé à un petit problème, mais je n'arrive pas à finaliser ... je vous expose mon cas :
Les Grecs utilisaient 7/5 comme valeur approchée de racine de 2, car (7/5)²=49/25, ce qui vaut presque 2.
J'ai voulu trouver d'autres approximations sur le même principe, c'est-à-dire trouver des couples (x;y) de N² tels que (y²+1)/x² = 2.
Je me suis ramené à 2x² - y² = 1, et déduit qu'on avait x²=1+k et y²=1+2k avec k dans N.
Mais comment trouver les valeurs de k pour lesquelles 1+k et 1+2k sont des carrés parfaits ? J'ai programmé un petit algorithme qui teste les valeurs une à une à partir de 0, mais il doit y avoir mieux ...
Si quelqu'un peu m'aider, merci d'avance !
et juste pour anecdote, 275 807 / 195 025 donne une valeur de racine de 2 avec 10 décimales exactes ... c'est mon record ;)

par **cesar** » 06 Juil 2005, 17:36

tu connais la suite de fibonacci, celle dont le rapport a(n+1)/a(n) tend vers le nombre d'or ? et bien sur le même principe, on peut faire des suites de ce genre qui tendent vers n'importe qu'elle racine carrée...y compris racine de 2..

par **khivapia** » 06 Juil 2005, 17:40

si tu fais la différence, tu obtiens (1+2k)-(1+k) = k = y^2-x^2.

Il est donc nécessaire de chercher k dans les entiers qui sont différence de deux carrés parfaits. Ca réduit un peu le travail, mais ce n'est pas idéal tout de même, tu restes avec un algorithme à peu près aussi lent si tu cherches tous les k plus petit que n donné tel que k vérifie les conditions au-dessus.

Sinon si tu cherches d'autres approximations rationnelles la suite u_{n+1} = 1/2(u_n+1/u_n) avec u_0 = 1 converge très rapidement vers racine de 2.

par **mathador** » 06 Juil 2005, 17:43

Mais c'est pas comme les Grecs ;)

par **palmade** » 06 Juil 2005, 19:03

La méthode la plus efficace pour obtenir les meilleures approximations rationelles d'un irrationnel quadratique, ici a=rac(2) est le développement en fraction continue, qui se résume à un algorithme très simple: on sait que 1à l'étape suivante b=2+1/c et ici c=b (pour d'autres irrationnels ça ne boucle pas aussi vite) donc b=2+1/b. En itérant le nombre de fois voulu et en négligeant le 1/b final on obtient les approximations successives, qui encadrent la valeur vraie: 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70 etc...
Ce qui revient à écrire a=1+1/(2+1/(2+1/(...

par **khivapia** » 06 Juil 2005, 22:33

mathador a écrit:Mais c'est pas comme les Grecs

En plus si, elle s'appelle l'itération de Héron

Mais elle est en effet apparue assez tard... en tous cas plus tard que l'âge d'or de l'arithmétique et des nombres rationnels...

par **mathador** » 06 Juil 2005, 23:07

Tiens donc ! décidément, les grecs ne sont pas seulement forts en foot ;)
et si ça intéresse quelqu'un :
1 607 521
---------- donne racine de 2 avec 11 décimales exactes :)
1 136 689

C'est remarquable d'inutilité !

par **palmade** » 07 Juil 2005, 08:02

L'algorithme donné plus haut donne 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169,
577/408, 1393/985, 3363/2378, 8119/5741, 19601/13860, 47321/33461,
114243/80782, 275807/195025, 665857/470832, 1607521/1136689,
3880899/2744210, 9369319/6625109, 22619537/15994428,
54608393/38613965 , et il suffit de faire glisser la poignée de recopie sur excel pour en obtenir beaucoup d'autres!

par **mathador** » 07 Juil 2005, 17:57

Oh que c'est beau !!! Merci beaucoup Palmade :D

Autour de racine de 2

Autour de racine de 2

Qui est en ligne