Autour d'une inversion plane et autre...

[john david]

Bonjour tout le monde !

Alors j'ai un DM à rendre et j'ai fait quasiment tous les exos mais j'aurai besoin de petites vérifications et quelques conseils pour le 3e et le 4e exercice

Voila le sujet



SUJET DU DEVOIR MAISON


( désolé je n'ai pas réussi à mettre l'image directement sur le forum )


EXERCICE 3 Pour celui là je vous demande juste si le raisonnement et les résultats vous semblent corrects.

Il faut déterminer les nombres complexes z tel que z, z^2 et z^4 soient alignés.

Il s'agit de montrer que

On factorise par z

Cas Particulier

Si z=0 , z=z²=z^4 ils sont confondus donc alignés.

Si z différent de 0 on peut simplifier par z et on obtient


2e Cas particulier

Si z = 1 alors z = z² = z^4 ils sont confondus donc alignés.

Si z différent de 1 on peut écrire que ( identité remarquable et simplifier par z-1 ce qui nous amène à

et ce nombre est réel sssi sa partie imaginaire vaut zéro ce qui après identification de cette partie nous mène à

x=-1/2 ou y=0

Conclusion : Les complexes z tels que z z² et z^4 soient alignés sont

z = 0
z = 1
z = x ( x réel )
z = -1/2 + iy ( y réel )




EXERCICE 4 ( plus corsé je n'ai pas encore tout trouvé mais je cherche encore )


Pour la 1/ ( je ne suis pas sur )

J'ai écris que pour M ( x ; y ) M' ( x' ; y' ) x x' y y' réels différents de 0





Dont l'écriture analytique de f se déduit en remplaçant dans l'expression vectorielle de f en séparant bien les x et les y.

x' = x/(x²+y²)
y'= y/(x²+y²)

Ensuite soit M d'affixe z et M' d'affixe z' avec z et z' complexes non nuls.




D'où

2/


3/
f(M) = M
1/z = z
z² = 1

z = 1
z = -1

4/

Là j'ai de gros doutes mais bon je vois pas trop comment vérifier...

J'ai montré que

x²+y²+ax+by = 0 est équivalent à

(x+a/2)² + (y+b/2)² =(a²+b²)/4 ( même méthode que pour la démo du discriminant )

Donc que les cercles de l'équation donnée sont les cercle de de centres K ( -a/2 ; -b/2 ) et de rayon (a+b)/2 mais je ne sais pas comment montrer que c'est bien l'ensemble des cercles de rayon non nul passant par O ( à part que O est bien solution ) et je ne suis pas sûr qu'il y ait bien équivalence entre l'ensemble cherché et l'équation et donc que je puisse "remonter ainsi" mais sinon je vois pas comment faire.

Pour les autres questions toute aide est bienvenue je cherche encore mais je bloque ^^

Merci d'avance !

PS : Sinon pour LaTeX il ya un moyen d'aller plus vite que taper toute les formules à la main ? Car ça devient vite long mais bon c'est surement car je n'ai pas l'habitude ^^

[Sa Majesté]

Sur l'exo 3
Je te suggère d'étudier au début tous les cas particuliers :
z=z²
z=z^4
z²=z^4

Ensuite le cas général

Conclusion : Les complexes z tels que z z² et z^4 soient alignés sont

z = 0
z = 1
z = x ( x réel )
z = -1/2 + iy ( y réel )

Oui mais z = 0 et z = 1 sont des cas particuliers de z = x (x réel)

[mathelot]

Bjr,

(1)
utiliser le discriminant réduit, ça simplifie
extraire une racine carrée de
ie,



------------------------------------
(2)
no problemo: le discriminant réduit est un carré parfait.

--------------------------------
(3) réel.simplifier le quotient après avoir traité les cas particluiers
-------------------------------
(4.3)

(4.5)
équation de la droite d'où . écrire sous forme trigo.
(5.b)
il faut se souvenir de l'équation en complexes d'une droite
ne passant pas par l'origine.???
--------------------------------
(6)
comme f est une involution,l'image d'une figure F
est aussi son image réciproque , car !!

[mathelot]

Bonjour tout le monde !

Alors j'ai un DM à rendre et j'ai fait quasiment tous les exos mais j'aurai besoin de petites vérifications et quelques conseils pour le 3e et le 4e exercice

Voila le sujet



SUJET DU DEVOIR MAISON


( désolé je n'ai pas réussi à mettre l'image directement sur le forum )


EXERCICE 3 Pour celui là je vous demande juste si le raisonnement et les résultats vous semblent corrects.

Il faut déterminer les nombres complexes z tel que z, z^2 et z^4 soient alignés.

Il s'agit de montrer que

On factorise par z

Cas Particulier

Si z=0 , z=z²=z^4 ils sont confondus donc alignés.

Si z différent de 0 on peut simplifier par z et on obtient


2e Cas particulier

Si z = 1 alors z = z² = z^4 ils sont confondus donc alignés.

Si z différent de 1 on peut écrire que ( identité remarquable et simplifier par z-1 ce qui nous amène à

et ce nombre est réel sssi sa partie imaginaire vaut zéro ce qui après identification de cette partie nous mène à

x=-1/2 ou y=0

Conclusion : Les complexes z tels que z z² et z^4 soient alignés sont

z = 0
z = 1
z = x ( x réel )
z = -1/2 + iy ( y réel )




EXERCICE 4 ( plus corsé je n'ai pas encore tout trouvé mais je cherche encore )


Pour la 1/ ( je ne suis pas sur )

J'ai écris que pour M ( x ; y ) M' ( x' ; y' ) x x' y y' réels différents de 0





Dont l'écriture analytique de f se déduit en remplaçant dans l'expression vectorielle de f en séparant bien les x et les y.

x' = x/(x²+y²)
y'= y/(x²+y²)

Ensuite soit M d'affixe z et M' d'affixe z' avec z et z' complexes non nuls.




D'où

2/


3/
f(M) = M
1/z = z
z² = 1

z = 1
z = -1

4/

Là j'ai de gros doutes mais bon je vois pas trop comment vérifier...

J'ai montré que

x²+y²+ax+by = 0 est équivalent à

(x+a/2)² + (y+b/2)² =(a²+b²)/4 ( même méthode que pour la démo du discriminant )

Donc que les cercles de l'équation donnée sont les cercle de de centres K ( -a/2 ; -b/2 ) et de rayon (a+b)/2 mais je ne sais pas comment montrer que c'est bien l'ensemble des cercles de rayon non nul passant par O ( à part que O est bien solution ) et je ne suis pas sûr qu'il y ait bien équivalence entre l'ensemble cherché et l'équation et donc que je puisse "remonter ainsi" mais sinon je vois pas comment faire.

Pour les autres questions toute aide est bienvenue je cherche encore mais je bloque ^^

Merci d'avance !

PS : Sinon pour LaTeX il ya un moyen d'aller plus vite que taper toute les formules à la main ? Car ça devient vite long mais bon c'est surement car je n'ai pas l'habitude ^^

.................................................y a une erreur

[john david]

Exact je l'ai trouvée dans la soirée mais j'ai oublié de rectifier ;D

Les points invariants ce sont les points de centre O et de rayon 1 ( le cercle d'inversion ).

J'avais oublié le barre dans mon brouillon :D

Je relis plus en détail les posts merci des réponses ;D

[john david]

(4.5)
équation de la droite d'où . écrire sous forme trigo.
(5.b)
il faut se souvenir de l'équation en complexes d'une droite
ne passant pas par l'origine.???
--------------------------------
(6)
comme f est une involution,l'image d'une figure F
est aussi son image réciproque , car !!

Alors pour 4.5) pourrais tu expliquer un peu ?

Selon toi est l'équation complexe d'une droite ?
Pas plutot d'une demi droite ?

4.5.b Ca je vois pas trop à part translater l'équation de la droite passant par O par

6) Je suis d'accord avec toi cela semble logique

Sinon pour la 4.4 sans passer par la forme canonique ne peut on pas dire que tout cercle a une équation du type

x²+y²+ax+by + c = 0

Et donc si les cercles passent par O (0;0) c=0 et donc l'équation s'écrit

x²+y²+ax+by = 0 CQFD

[mathelot]

Selon toi est l'équation complexe d'une droite ?
Pas plutot d'une demi droite ?

Une droite (D) passant par O est caractérisée par ses deux vecteurs
unitaires d'affixes et
Je pense qu'on peut en choisir un des deux,ceçi dit, je ne vois pas comment,
ensuite, ssi
avec réel
En écrivant sous forme trigo, on voit que (D), privée de O, est globalement invariante .

[mathelot]

j'ai trouvé ça


droites et cercles ont une équation complexe commune,
la syntaxe de l'équation est invariante par inversion nickel :zen:,
comme on peut le voir en divisant par

Si on "remonte" le plan complexe sur la sphère de Riemann
en prenant son image réciproque par la projection stéréographique,
droites et cercles jouent le même rôle, les droites étant simplement
des cercles qui passent par le pôle nord.

Il faut écrire les équations, les inversions doivent donner un groupe
de transformations de la sphère .

[john david]

D'accord mais alors il faudra le prouver à ta manière car je ne peux sortir cette équation commune de cercle et droite comme ça ^^

Sinon pour l'autre question il me semble que le résoudre de manière polaire va être très très galère...

[mathelot]

vite fait, :dodo:

équation cercle:


équation droite (AM):

réel


d'où même famille
avec D réel.