Arithemetique

[LA solution]

BONJOUR TOUT LE MONDE
JE SUIS COINCE SUR UN EXO
EXO: soient a,b et c trois entiers naturels tels que a^2 +b^2=c^2
demontrer que abc est divisible par 60 :mur:

[adrien69]

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=136968&highlight=abc+divisible

[LA solution]

0k merci
pour ton rappel

[godzylla]

a^2 +b^2=c^2
tu prends 345 multiplié par 60.
a=180
b=240
c=300

j'ai trouvé cela à l'université de Montpellier:
1) Montrer que :
a) pour tout x entier relatif : x(x + 1)(x + 2) est divisible par 6.
b) pour tous x y entiers relatifs : xy (x2 ; y2) est multiple de 6.

2) Soient a b et c des nombres entiers pythagoriciens (i.e. a2 + b2 = c2 ) montrer que
le produit abc est divisible par 60( et que modulo abc%60 serra toujours nul).

[LA solution]

Merci pour ta participation mais ces sa que je ne parvient pas a le faire 2) Soient a b et c des nombres entiers pythagoriciens (i.e. a2 + b2 = c2 ) montrer que
le produit abc est divisible par 60( et que modulo abc%60 serra toujours nul).

[godzylla]

page 184
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/NAM/NAM_1842_1_1_/NAM_1842_1_1__183_1/NAM_1842_1_1__183_1.pdf

il faut et il suffit :
1° Que a soit la somme de deux carrés ;
2° Que b soit la différence de ces mêmes carrés;
3° Et que c soit le double produit des racines carrées de ces
mêmes carrés.
Si ces trois conditions sont remplies, le produit abc
de ces trois nombres forme toujours un nombre divisible
par 60.
D'abord, il est clair que ces conditions sont suffisantes ; car
si l'on a, par exemple ,
a=m²+n²
b = m² - n²,
c = 2mn
sinon:

(3/60)²+(4/60)^2=(5/60)²
(1/20)²+(1/15)²=(1/12)²
1/(20*15*12)=1/3600 donc 1/60²

il y a 60 30 et 52 qui ne sont pas un triangle rectangle.

[LeJeu]

a^2 +b^2=c^2
tu prends 345 multiplié par 60.
a=180
b=240
c=300

@ godzilla : on ne demande pas un exemple mais on demande de montrer que abc est divisible par 60
@ adrien69 - J'ai suivi ton lien ,mais il ne semble pas mener à la solution complète ? j'ai pas vu

@ LA solution : il faut successivement montré que abc est divisible par 4, 3 et 5, malheureusemnt je n'ai que 2,3,5 donc la division par 30 !

- pour le 2 tu as la demo dans la page donné par ampholyte
on a : a ou b divisible par 2

- pour la division par 3
si a == 0 mod 3 alors a² ==0 mod 3
si a == 1 mod 3 alors a² ==1 mod 3
si a == 2 mod 3 alors a² ==1 mod 3

si ni a ni b sont divisibles par 3 on a 1 seul cas possible
a² = 1 mod 3 et b² = 1 mod 3 Alors c² = a²+b² serait congru à 2, ce qui n'est pas possible

on a donc : a ou b divisible par 3

- pour la division par 5
idem
tu cherches tous les résultats possibles pour un carré modulo 5
-> c'est 0 1 4

si ni a ni b sont divisibles par 5 on a 3 cas possibles
a² =1 mod 5 et b²=1 mod 5 alors c² = 2 mod 5 ce qui n'est pas possible
a² =1 mod 5 et b²=4 mod 5 alors c² =0 mod 5 c est divisible par 5
a² =4 mod 5 et b²=4 mod 5 alors c² = 3 mod 5 ce qui n'est pas possible

on a donc a ou b ou c divisible par 5 !

pour la division par 4 on n'arrive pas à une contradiction comme pour 3 et 5 : il faut chercher autre chose...

[LeJeu]

pour la division par 4 on n'arrive pas à une contradiction comme pour 3 et 5 : il faut chercher autre chose...

j'avais déjà vu, j'ai retrouvé, c'est un peu plus compliqué :

on a vu que l'on pouvait supposer a pair , b et c impair
a²+b² = c²
donc a² = c² - b² = ( c-b)(c+b)

on va montrer qu'en fait a est divisible par 4

on regarde ce que ca donne en fonction de c mod 4 et b mod 4
si c =1 mod 4 et b=1 mod 4
ou si c =3 mod 4 et b=3 mod 4 alors (c-b) divisible 4 par et (c+b) divisible par 2

si c= 1 mod 4 et b = 3 mod 4 alors (c+b)divisible par 4 et (c-b) divisible par 2

dans tous les cas a² est divisible par 8
a est pair - donc a² = (2 q)²
donc q² est divisible par 2
donc q est divisible par 2
donc a est divisible par 4

donc abc est divisible par 60 !

[godzylla]

N est un entier positif.
abc=N/60
si N/60 = M/m; 60=M/m
N M
60 m

60=Nm/M
N=60M/m
donc
N/60=(60M/m)/(Nm/M)
N/60=(60M/m)*(M/Nm)
N/60=60M²/(Nm²)

abc=M/(Nm)

sinon on peut le faire par:
1/a+1/b=1/c

pause...

[LeJeu]

sinon on peut le faire par:
1/a+1/b=1/c
.

Bonjour Godzilla,

je ne savais pas trop si tu étais un peu perdu dans les maths (et c'est un droit absolu)
ou si tu faisais dans la provocation ...

J'ai mon idée sur la question maintenant...

Si les modos ne sont pas en vacances je pense que tu mériterais toi d'y aller ( en vacances)

[godzylla]

à ton tour de faire un dessin mais il n' y a pas d'histoire de balais et de zero sur le coup.

[LeJeu]

à ton tour de faire un dessin mais il n' y a pas d'histoire de balais et de zero sur le coup.

Bonsoir,

Je peux me tromper mais je pense avoir répondu plutôt correctement au problème posé par "La solution", et montré que abc était divisible par 60

Mais je suis désolé, j'ai eu beaucoup de mal à suivre tes contributions,
par exemple quand tu commences par :

abc=N/60

alors que c'est justement l'inverse que l'on cherche à prouver , je vacille..

Question dessin , l'énoncé était clair ( arithmétique et s'autosuffisait

Si je peux me permettre, si tu soulignais tes équations par des phrases comme : 'je veux montrer', 'je pense', 'je me demande si', 'donc' ....on pourrait certainement te comprendre mieux?

Sinon? que penses tu de la démo précédente, plutôt sympa non ?

[xmenclasse4]

@loustounet attention, les conséquences sont indépendantes de moi.

Bonsoir,

Je peux me tromper mais je pense avoir répondu plutôt correctement au problème posé par "La solution", et montré que abc était divisible par 60

Mais je suis désolé, j'ai eu beaucoup de mal à suivre tes contributions,
par exemple quand tu commences par :
alors que c'est justement l'inverse que l'on cherche à prouver , je vacille..

Question dessin , l'énoncé était clair ( arithmétique et s'autosuffisait

Si je peux me permettre, si tu soulignais tes équations par des phrases comme : 'je veux montrer', 'je pense', 'je me demande si', 'donc' ....on pourrait certainement te comprendre mieux?

Sinon? que penses tu de la démo précédente, plutôt sympa non ?

1/(20*15*12)=1/3600 donc abc=abc=N/60
j'essaye de me rapprocher d'un équilibre mass/poid, théorème d'archimede,.

j'ai une formation de physicien combiné a une autre en informatique recombiné sur physique des particule tendance philosophie epistémologie psychanalyse et science politique.

[LeJeu]

????

Je veux bien que les modos effacent tout les parasites de ce fil .... mes réponses à Gozilla comprises, voir même le fil : c'est consternant

[godzylla]

et pourquoi 60 ?

[Lostounet]

Quoi "et pourquoi 60" ?
Sois plus clair.

[godzylla]

je dit que c'est une bonne question qui mérite surement une réponse,

s'il se peut,

et que sa meilleure place eut été dans défis.