Arc tan x+arc tan 1/x=?

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hypathie31415
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arc tan x+arc tan 1/x=?

par hypathie31415 » 03 Nov 2019, 14:09

A quoi est egal arctanx +arctan 1/x=?



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mathelot
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Re: arc tan x+arc tan 1/x=?

par mathelot » 03 Nov 2019, 14:18

bonjour,

on pose f(x)=arctan(x)+arctan(1/x)

f'(x)=1/(1+x^2)+1/(1+1/x^2)(-1/x^2)=0

donc pour x>0 f(x)=constante = arctan(1)+arctan(1)=pi/4+pi/4=pi/2

donc pour x<0 f(x)=constante = arctan(-1)+arctan(-1)=-pi/2

hypathie31415
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Re: arc tan x+arc tan 1/x=?

par hypathie31415 » 03 Nov 2019, 14:43

je ne cherche pas f'(x) mais f(x).

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mathelot
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Re: arc tan x+arc tan 1/x=?

par mathelot » 03 Nov 2019, 15:29

Soit g(x) =arctan(x)+arctan(1/x)
La fonction g est définie et dérivable sur la réunion de deux ouverts]-infini, 0[ et] 0,+infini[.
On calcule sa dérivée qui est nulle. La fonction est donc constante sur chaque intervalle. On calcule la valeur de chaque constante en remplaçant x par 1 puis en remplaçant x par-1.
Pour x=1 g(1)=arctan(1)+arctan(1)=2 *pi/4=pi/2

 

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