Application, "presque contractante" sur un compact.

[Anonyme]

Bonjour,

Alors voilà mon problème:

Je considère une application f définie sur un compact Q inclus dans un espace de banach muni de la norme ||.|| telle que:

||f(x)-f(y)||< ||x-y||
Elle n'est pas tout à fait contractante donc.

Je dois montrer que la suite définie par x_{0} dans Q et x_{n+1} = f(x_{n}) est convergente et qu'elle converge vers l'unique point fixe y de f sur Q

Alors voilà, j'ai montré que f admettait un unique point fixe y en considérant la borne inférieure de ||f(x)-x|| et j'ai montré que ||f(x_{n})-y|| convergeait. Mais je n'arrive pas à montrer que la limite est zéro. Peut être faudrait il que j'attaque le problème autrement?

MErci d'avance à tous.

[Anonyme]

La suite de terme général ||x_n-y|| converge vers un certain réel
positif a.

Il s'agit de prouver que a=0.
On raisonne par l'absurde en supposant que a>0.
De (x_n), on extrait une sous-suite convergeant vers un certain point z.
Alors ||z-y||=a. D'autre part, f(z) est une autre valeur d'adhérence de
(x_n), et ainsi ||f(z)-y||=a. Mais on devrait avoir
||f(z)-y||<||z-y||=a par hypothèses sur f. Contradiction.

[Anonyme]

Merci beaucoup, en effet, c'était "tout con". Sympa d'avoir pris le temps de répondre.