Application linéaire

par **Vlad-Drac** » 19 Aoû 2009, 19:13

coucou jai un petit souci avec un exo mais je me demande si il ne manque pas simplement une deffiition du cour ~~

Soit f une application linéaire de E dans F.
montrez que si {f(x1),f(x2),...,f(xn)} est une famille libre de F alors
{x1,x2...xn} est une famille libre de E.

jai fait:
- {f(x1),f(x2),...,f(xn)} libre => alpha1f(x1) + alpha2f(x2) ... = 0
=> aplha1 = alpha2 = alphan n = 0

-f linéaire donc alpha1f(x1) + alpha2f(x2) ... = f(apha1 x1) + f(alpha2 x2) ..
= f ( aplha 1 x1 + aplha2x2 ...+ alphanxn )

et là je me demande si je peu conclure par
f ( aplha 1 x1 + aplha2x2 ...+ alphanxn ) = 0
f lineaiire donc
( aplha 1 x1 + aplha2x2 ...+ alphanxn ) = 0
=>aplha1 = alpha2 = alphan n = 0

{x1,x2...xn} famille libre ... :doh:

par **girdav** » 19 Aoû 2009, 19:24

Bonjour.

f linéaire donc (

Ceci n'est vrai que si

est bijective ce qui n'est pas supposé ici.
En revanche,

...

par **mathelot** » 19 Aoû 2009, 19:25

bonsoir,

on part d'une combinaison linéaire nulle des

on prend l'image par f.
or les images forment une famille libre par hypothèse...

par **Vlad-Drac** » 19 Aoû 2009, 19:41

je ne suis pas plus avancé mais merci quand meme pour ces interventions :briques:

par **Vlad-Drac** » 19 Aoû 2009, 19:45

girdav a écrit:Bonjour.

Ceci n'est vrai que si est bijective ce qui n'est pas supposé ici.
En revanche, ...

ca ne m'est d'aucune utilité ici

par **xyz1975** » 19 Aoû 2009, 19:47

Vlad-Drac a écrit:je ne suis pas plus avancé mais merci quand meme pour ces interventions :briques:

Je pense que mathelot a tout dit :
Tu écris le faite qu'une combinaison des

est nulle puis tu composes avec f qui est linéaire tu utilises enfin le fait le fait que les images des

sont libres.

par **Vlad-Drac** » 19 Aoû 2009, 19:55

alpha1x1 +alpha2x2 +alphanxn = 0
f(alpha1x1 +alpha2x2 +alphanxn) = 0 ? ha bon ?
alpha1 f(x1) + alpha2 f(x2) .. = 0
famile libre => alpha 1 = alpha 2 ..= 0
et c gagné ?

par **xyz1975** » 19 Aoû 2009, 19:56

Oui c'est bien ça.
Puisque c'est une démonstration d'un résultat il faut quand même préciser que f(0)=0 puisque f est linéaire à mon sens il ne faut pas sauter cette étape.

par **Vlad-Drac** » 20 Aoû 2009, 09:28

Montrez que la reciproque est vrai si f est injective :

alpha1 f(x1) + alpha2 f(x2) +... + alpha n f(xn) = 0
f ( alpha1 x1 + alpha2 x2 ... + alpha n xn ) = 0

f injective donc ker(f)=0
=> alpha1 x1 + alpha2 x2 ... + alpha n xn = 0

{alpha1 x1 + alpha2 x2 ... + alpha n xn} famille libre
=> alpha1 =alpha2 =alpha n = 0

donc { f(x1), f(x2), ... f(xn)} est une famille libre.

correct ?

par **mathelot** » 20 Aoû 2009, 11:09

Vlad-Drac a écrit:
correct ?

oui................

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