[RESOLU] Application linéaire

[zelda007]

Bonjour,

J'ai un petit exo simple :

Soit f, g deux endomorphismes de E. Montrer que .

On procède par double inclusion.

Sens <== :

Soit x appartient Ker(g) inter Im(f).
Donc x appartient Ker(g) et x appartient Im(f).
DOnc, g(x) = 0 et il existe un y tel que f(y) = x.
Donc, (g o f)(y) = 0 d'où y appartient Ker(g o f)

Or y = f^-1(x) donc f^-1(x) appartient Ker(g o f)

Et donc, x appartient f[Ker(g o f)]

Est ce que c'est bon ?

Sinon je n'arrive pas à faire l'autre sens...

Merci

[kazeriahm]

salut

oui le premier sens est bien

le deuxième n'est pas très compliqué : il est clair que f(Ker(g°f)) est inclus dans Im(f)

calcule l'image par g d'un élément de f(Ker(g°f))

[Alpha]

C'est juste mais il est plus simple, une fois que tu as dit que y est dans Ker(gof), de dire que x=f(y) donc x appartient à f(Ker(gof)) (pas besoin de passer par f^-1 ici).

PS : j'ai remis les choses au bon format, en latex, du moins pour le début... Pour les bases de l'écriture en latex, tu peux regarder ici

[zelda007]

salut

oui le premier sens est bien

le deuxième n'est pas très compliqué : il est clair que f(Ker(g°f)) est inclus dans Im(f)

Ca c'est clair

calcule l'image par g d'un élément de f(Ker(g°f))

Eu, tu veux que je calcule : g(Ker(g°f)) ?
Je ne vois pas ou tu veux en venir...

Merci

[zelda007]

C'est juste mais il est plus simple, une fois que tu as dit que y est dans Ker(gof), de dire que x=f(y) donc x appartient à f(Ker(gof)) (pas besoin de passer par f^-1 ici).

PS : j'ai remis les choses au bon format, en latex, du moins pour le début... Pour les bases de l'écriture en latex, tu peux regarder ici

Effectivement, c'est bête de ma part...

Merci pour le Latex, il est tant que j'apprenne ca un peu :we:

Sinon , une idée pour l'autre sens arf

[Alpha]

Dans l'autre sens, il suffit de procéder de façon logique comme tu l'as fait pour le premier sens, ça vient tout seul :

il est clair que f(...) est inclus dans Imf. Reste à montrer que c'est inclus dans Kerg aussi.

Prend donc y dans f(Ker(gof)). Alors il existe x tel que y = f(x) avec x dans Ker(gof), ie tel que (gof)(x) = 0...

Je te laisse conclure...

[leon1789]

Bonjour,

Or y = f^-1(x) donc f^-1(x) appartient Ker(g o f)

Attention quand même : f n'est pas bijective, donc on ne peut pas écrire y = f^-1(x)...

C'est juste mais il est plus simple, une fois que tu as dit que y est dans Ker(gof), de dire que x=f(y) donc x appartient à f(Ker(gof)) (pas besoin de passer par f^-1 ici).

:we:

EDIT ALPHA : J'avoue ne pas avoir fait gaffe, on était si proche du résultat que je me suis dit que cette dernière étape devait être bonne... mais en effet tu as raison de souligner cette confusion que font souvent les élèves au début! (confusion entre l'image réciproque et l'inverse)

[zelda007]

Ah ok !

Donc on a
y appartient à f(...), donc il existe un x de ker(g of) tel que y = f(x) ie que x appartient à Ker(g o f) donc que (g o f)(x) = 0, g(f(x)) = 0, g(y) = 0 donc y appartient à Ker(g).

Et merci pour le f^-1, c'est vrai qu'on ne sait pas que f est bijective donc mon raisonnement était faux !

Merci

[Alpha]

C'est tout bon :++: