Application linéaire

[moii]

bonjour
j'ai un exercice à resoudre mais je ne sais pas trop comment m'y prendre
l'énoncé est le suivant :
Soit E un espace vectoriel et u € L(E). montrer que u est injectif si et seulement si il verifie la condition suivante : pour tous sou-espaces F et G de E, u(F)=u(G) implique que F et G sont isomorphes.

voici ce que j'ai fait :

*sens direct : par hypothese u est injectif
D'après la formule du rang, Dim(F)=dim(Im u|F)+dim(Keru) or Keru={0} car u est injectif.
De meme Dim(G)=dim(Imu|G)
or u(F)=u(G) donc dim(Im u|F)=Dim(Im u|G)
d'où Dim(F)=Dim(G) et par conséquent F et G sont isomorphes.

*sens indirect : on sait que u(F)=u(G) => F et G isomorphes, donc u est une application bijection, donc injective !

est-ce que c'est juste?

Merci de votre aide :happy2:
(ps c'est pour demain ! )

[nuage]

Salut
Le "sens indirect" me semble un peu bref (et peut-être faux si E n'est pas de dimension finie).
On peut dire que u(Ker(u))=u({0}) et donc que Ker(u) et {0} sont isomorphes d'où Ker(u)={0} (seul sous espace de dimension nulle).

A+

[mathelot]

bonjour,
si u est injectif, alors:
implique même si u n'est pas linéaire:
montrons que entraine
si , d'où désigne un unique élément de G car u est injective mais car u est injective. donc . De même .