Application lineaire

[reyo94]

bon j'ai une petit probleme concernant chapitre application lineaire

Comment calculer dim(ker(f) et dim(im(f))

f est surjictive si dim E = dime F = n constante nespa ?


Merci d'avance..

[BiancoAngelo]

bon j'ai une petit probleme concernant chapitre application lineaire

Comment calculer dim(ker(f) et dim(im(f))

f est surjictive si dim E = dime F = n constante nespa ?


Merci d'avance..

Bonjour, pour la première question, il y a plusieurs techniques...

Déterminer le , c'est bien trouver le noyau de , à savoir pour quelles valeurs les images par sont nulles.

En cherchant explicitement le noyau, tu verras apparaître ce qu'on appelle les degrés de liberté... Dès qu'apparaîtra un , c'est un degré de liberté...

Bref, pour expliquer, rien de tel qu'un exemple, admettons qu'on trouve, en dimension 3 :



Il y a deux degrés de liberté, et le noyau est donc de dimension 2...

On peut faire pareil avec .

Attention ! Cette technique nous oblige à trouver la forme de ces ensembles qui utilisent le moins de possibles... Sinon, on peut écrire n'importe quoi, du genre :

qui n'est évidemment pas du tout de dimension 2 !


Maintenant, si tu as ou la dimension du noyau ou la dimension de l'image, grâce au théorème du rang, tu peux directement avoir l'autre :




C'est UNE façon.

[BiancoAngelo]

Si on définit grâce à une matrice carrée, c'est à dire :

Soit une matrice carrée d'ordre n, un espace vectoriel de dimension n :

Soit .

Alors la dimension de l'image de est le rang de la matrice .

Allez, un exemple.

On se place dans .

Soit .

On a donc : .

Le rang de la matrice choisie est 1. (La deuxième ligne est le double de la première).

On a donc directement .

[paquito]

Si f est une application linéaire d'un espace E de dimension n dans un espace F de dimension m, f est surjective si dim (f(E))=m (donc ) et injective si Ker(f)={0}; si on parle d'endomorphisme (n=m) f bijective f injective f surjective et on a aussi dim (Ker)+dim(F)=n.