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jonses
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par jonses » 20 Fév 2014, 13:25
Bonjour,
J'essaye de faire un exo qu'un ami a eu dernièrement, mais je suis totalement bloqué (et pas moyen de le contacter pour savoir comment il a fait cet exo ou s'il y a des données manquantes), si quelquun peut me donner quelques indications svp:
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Soient
un
espace vectoriel, et
deux endomorphismes de
tels que :
et
est inversible.
Je dois montrer que
 =Im(g))
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\subset Ker(f))
est assez immédiat, mais pour ce qui est de l'autre inclusion, je n'y arrive pas du tout.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses
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arnaud32
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par arnaud32 » 20 Fév 2014, 16:43
que peux tu dire de la restriction de g a ker(f)?
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jonses
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par jonses » 20 Fév 2014, 16:57
arnaud32 a écrit:que peux tu dire de la restriction de g a ker(f)?
Je tourne en rond, je tombe toujours sur des trucs du genre
=g(u))
où
)
.
Si je me trompe pas, la restriction de g à Ker(f) est injective ?
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jonses
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par jonses » 20 Fév 2014, 18:09
arnaud32 a écrit:que peux tu dire de la restriction de g a ker(f)?
Je tourne en rond, je tombe toujours sur des trucs du genre
où
.
Si je me trompe pas, la restriction de g à Ker(f) est injective ?
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arnaud32
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par arnaud32 » 21 Fév 2014, 09:24
je suppose que tu es en dimension finie?
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jonses
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par jonses » 21 Fév 2014, 09:32
arnaud32 a écrit:je suppose que tu es en dimension finie?
Ah c'est ça le problème, c'est que j'ai aucune autre indication à part celle que j'ai postée.
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arnaud32
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par arnaud32 » 24 Fév 2014, 11:46
en dimension finie un argument de dimension te permet de coclure
en dimension infinie, il me semble que c'est faux
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jonses
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par jonses » 24 Fév 2014, 17:57
arnaud32 a écrit:en dimension finie un argument de dimension te permet de coclure
J'essaye en dimension finie mais là aussi je bloque
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jonses
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par jonses » 24 Fév 2014, 18:19
arnaud32 a écrit:en dimension finie un argument de dimension te permet de coclure
Je vais essayer en dimension finie.
Voilà ce que j'ai fait :
je pose
et
)=p)
Comme
est inversible, et donc bijective
=E)
donc
=n)
Or
\subset Im(f)+Im(g))
donc
+Im(g)=E)
donc
+Im(g))=rg(f)+rg(g)-dim(Im(f)\cap Im(g))=n)
mais par ailleurs
+p=n)
donc
+n-p-dim(Im(f)\cap Im(g))=n)
Ainsi
-p=dim(Im(f)\cap Im(g)))
Et il reste plus qu'à montrer que
\cap Im(g))=0)
Je montre d'abord que
= Ker(f))
:
comme
est une bijection :
=rg(fo(f+g))=rg(f^2))
Or
+dim\, Ker(f^2)=n=rg(f)+dim\, Ker(f))
d'où
=dim\, Ker(f^2))
et puisque
\subset Ker(f^2))
on a donc
=Ker(f^2))
Maintenant soit
\cap Im(g))
alors on dispose de
tel que
=g(b))
donc
=f^2(a)=(fog)(b)=0_E)
donc
=Ker(f))
D'où
=0_E)
donc
\cap Im(g)\subset \{0_E\})
(et l'autre inclusion étant trivial)
Ainsi
\cap Im(g))=0)
, d'où
=p)
et comme
on a le résultat.
C'est un peu lourd, non ? J'ai pas encore trouvé une réponse plus concise
arnaud32 a écrit:en dimension infinie, il me semble que c'est faux
Je le pense aussi finalement. En tout cas j'y arrive pas en dimension infinie
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arnaud32
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par arnaud32 » 25 Fév 2014, 10:07
plus simplement tu as
 \subset Ker(f))
donc tu peux considerer l'endomorphisme de Ker(f) dans Ker(f) h defini par h(x)=g(x)
puisqu'on est dans ker(f) tu as aussi h(x)=f(x)+g(x)
f+g etant inversible elle est injective et h l'est aussi
Comme nous sommes en dimension finie h est bijective et g(Ker(f))=h(Ker(f))=Ker(f)
tu as
 =g(Ker(f)) \subset Im(g) \subset Ker(f))
en dimension infinie tu peux prendre
tu definis f(x) et g(x) par
_k = x_{2E(\frac{k+1}{2})+1})
ou E(.) est la partie entiere
et
_k= x_{k-2})
si k est paire et k>0
0 sinon
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