Application linéaire

[Le_chat]

Salut tout le monde!
Voila j'ai une petite question. On se place dans un espace E de dimension n (fini donc). On prend f une application linéaire de E dans E, telle que:
(la somme est directe, j'aimerai bien savoir faire le "+" entouré en tex...).
on prend la restriction à Imf de f. Est- ce que F est un automorphisme? Je pense que oui:

F est injective, car si alors Donc x=0.
Enfin, theoreme du rang:

Donc, et on a clairement , ce qui prouve Imf=ImF, donc que F est un automorphisme...
Je trouve ça bizarre, n'y aurait-il pas un os quelque part?

[Nightmare]

Salut !

Rien de choquant ! Par construction (pas besoin d'évoquer le théorème du rang), F est surjective. Et comme on est en dimension finie, elle est injective aussi !

[Le_chat]

Merci pour ta réponse. Je ne vois pas pourquoi cette application est surjective par construction...

[Nightmare]

Hum, lorsque tu restreins f à Im(f), tu restreins son espace de départ ou celui d'arrivée?

[Le_chat]

Je restreins son espace de départ.

[Nightmare]

OK ! Dans ce cas là ce que j'ai dit n'est pas valable. Par contre, ta preuve que Ker(f)={0} elle l'est, donc f est injective, et l'argument de dimension fini (équivalent au théorème du rang) est aussi valable

:happy3:

[Le_chat]

Ok merci beaucoup, bonne soirée.