Application lineaire de E dans E

[KhoiHA]

E un K.e.v et f appartient à L(E)

Comment on arrive à avoir Ker (f) ⊂ Ker (f^2) ?

x appartient à Ker(f), alors f(x) = 0.

Maintenant, que vaut Ker (f^2) ou Ker f o f(x) ?

On sait que f(x) = 0, alors f o f(x) = f(0) = 0

Alors, x appartient à Ker(f^2).

Mais l'inclusion, Ker (f) ⊂ Ker (f^2) ?

[Rdvn]

Bonjour

0 désignant le vecteur nul de E :
soit x appartenant à ker(f), on a donc f(x) = 0 et donc f( f(x) ) = f(0)
et, puisque f est une application linéaire, f(0) = 0
donc f( f(x) ) = 0 c'est à dire x appartient à ker( f^2)

il se peut que ker(f) = ker( f^2) mais ce n'est pas toujours vrai, cela dépend de f.

[Ben314]

Salut,
Une petite remarque : je ne sais pas ce que dit ton cours concernant ce qu'est un "espace vectoriel" (sur quel corps ?), mais quand tu écrit des choses du style

Imaginez qu'il y a 5 elements dans E et qu'il y en a 3 qui verifient f(x) = 0

ça donne un peu l'impression que tu n'a pas super bien saisi la notion d'espace vectoriel . . .

Bref, peut tu me donner un d'exemple d'espace vectoriel E contenant exactement 5 éléments ?
Et un sous-espace vectoriel (le noyau de f dans ton exemple) de E qui, lui, contiendrait 3 éléments ?

[KhoiHA]

Alors, soit E un K.e.v de dimension finie
Je comprends que x appartient à Ker (f) et aussi Ker (f^2).
Demontrez moi pourquoi Ker(f) est inclus dans Ker (f^2) ?

[KhoiHA]

Et qu'est qui se passe quand on abord Ker(f^3) ? Est-ce que Ker(f^2) sera inclus dans Ker(f^3) ?

[Ben314]

Evidement que oui.
Par définition même, une application linéaire, ça vérifie f(0)=0.
Donc si tu as un x tel que f(x)=0, donc un x dans le noyau de f alors tu as f(f(x))=f(0)=0 donc ce x est aussi dans le noyau de fof=f^2. Evidement idem pour f(f(x))=0 qui implique que f(f(f(x)))=0.

[catamat]

Bonjour

(corrigez moi si je me trompe...)

Je trouve que l'exemple suivant illustre assez bien les inclusions successives des noyaux

Soit E l'espace vectoriel des fonctions polynômes sur R et f la fonction dérivation qui est un endomorphisme de E

Kerf est l'ensemble des fonctions constantes
Kerf² est l'ensemble des fonctions affines
Kerf^3 est l'ensemble des fonctions trinômes de degré 2
etc

On a Kerf C Kerf² C Kerf^3 C.....

On a aussi Kerf inclus dans Imf puisque Imf=E

D'autre part si E est la somme directe de Kerf et Imf alors Kerf=Kerf²

En effet si x est dans Kerf², f(f(x))=0 donc f(x) est dans Kerf, mais f(x) est aussi dans Imf donc f(x)=0 à cause de la somme directe, donc x est dans Kerf. d'où l'égalité puisque l'inclusion inverse a déjà été démontrée.

Une question y a t il d'autres situations ou on a Kerf=Kerf² ?

[Rdvn]

Bonjour à tous
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Citation de KhoiHA ci dessous :
Alors, soit E un K.e.v de dimension finie
Je comprends que x appartient à Ker (f) et aussi Ker (f^2).
Demontrez moi pourquoi Ker(f) est inclus dans Ker (f^2) ?
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A relecture il me semble que KhoiHA manipule mal l'inclusion des ensembles :
Soient A et B deux ensembles (pas besoin d'espace vectoriel pour le moment)
définition:
A est inclus dans B si tout élément de A est aussi élément de B
C'est bien vérifié pour A = ker (f) et B = ker(f^2)
@KhoiHA était ce ceci qui posait problème ? ou autre chose ?