Application lineaire et compact

[norka]

Bonjour à toi aussi !!
Bonjour a tous,

On désigne par F l’espace de Banach des fonction continues sur [0,2*Pi] a valeurs complexe muni de la norme uniforme. Pour chaque f appartenant a F on definit une fonction Tf sur [0,2*Pi] par la formule pour tout x de [0,2*Pi]
(Tf)(x)=ie(ix/2) * de 0 a x de e(-it/2) *f(t)dt

1) Justifier le fait que Tf appartient a F et que l’application qui a f associe Tf est lineaire.Montrer que T est continue de F dans F en donnant une majoration de sa norme(ou si possible la valeur exacte de norme de T dans l’ensemble des applications lineaire continue de F dans F

2) Montrer qu’il existe une forme lineaire l sur F telle que pour toute f de F la fonction Sf definie sur [0,2*Pi] par (Sf)(x)=(Tf)(x)+l(f)e(ix/2) prenne la meme valeur en x=0 et en x=2*Pi

3) Montrer que Sf est l’unique fonction y de classe C1 sur [0,2*Pi] qui est solution de l’équation différentielle y’-iy/2=if et qui verifie y(0)=y(2*Pi)

4)Montrer qu’il existe une fonction mesurable bornée K sur [0,2*Pi]*[0,2*Pi] telle que pour toute f de F pour tout x de [0,2*Pi] (Sf)(x)=;) entre 0 et 2Pi de K(x,t)f(t)dt

Je ne recherche pas la solution mais simplement la méthode
J'ai réussi la premiere et la seconde quetion sur la troisieme je n'arrive pas a montrer que Sf est l'unique solution et quant a la 4 je ne vois pas par ou passer
Merci a vous

[alavacommejetepousse]

bonjour
pour 3 unicité prendre y1 et y2 solution et regarder y= y1 - y 2 solution d'une équation linéaire sans second membre qu'on sait intégrer les conditions aux limites permettent de conclure

[norka]

C'est bon ca marche grace aux conditions initiales et au fait que la fonction recherche doit etre C1 je te remercie
Voila la question 3 est regle personne n'aurait d'idee pour la 4
Merci de votre aide

[norka]

Laissez tomber j'ai fini par trouver