Analyse : Jacobienne de f o g

[pingu]

Bonjour tout le monde .
Je suis étudiant en première année de physique , et nouveau sur le forum (alors que mes lacunes en maths datent ...)

Je ne comprends pas un point de mon cours d'analyse :
J(f) est la matrice jacobienne de f
f et g sont deux fonctions
Il est écrit J(fog)(x,y) = J(f) (g(x,y)) x J(f(x,y))

Mais je ne comprends pas exactement comment faire :
Je sais calculer J(f)(x,y) et J(g)(x,y) , mais comment fait on J(f) (g(x,y)
Aussi , y a t'il une différence entre J(f(x,y)) et J(f)(x,y) ? Les deux notations sont elles correctes ?

Faut il faire une dérivée de F par rapport à g(x,y) ? Auquel cas comment cela se fait il formellement ?

Merci d'éclairer ma lanterne

[nyth]

Bonjour, ta formule ne m'a pas l'air correct:

Si g différentiable en a et f différentiable en g(a), alors fog différentiable en a et


d'où

voilà, j'espère que je ne me trompe pas

[mathelot]

bjr,

et pour les calculs, les différentielles , en tant qu'applications linéaires
ont des matrices (dites jacobiennes) et la composition correspond au produit des matrices.

[pingu]

En effet, ma formule n'était pas correcte , merci à toi nyth .

Mais , vos réponses n'ont pas achevé de me faire comprendre. En effet , j'ai
J(FoG) = J(F)(g(x,y)) x J(G)(x,y) si j'ai bien saisi.

Mais comment appliquer J(F)(g(x,y)) , notation que je ne comprends pas
Dois je multiplier J(F)(x,y) par g(x,y) puis par J(G)(x,y)?

[mathelot]

bjr,

soit la fonction réelle toute simple

et la non moins simple fonction


La différentielle de f , notée df(x) est l'application linéaire:


La différentielle de g , notée dg(y) est l'application linéaire:


gof est la fonction



Sa différentielle est

elle s'écrit comme composée de deux applications linéaires
les coefficients étant calculé en et en .