Algèbre- Question de cours- Relations

[Yozamu]

Bonjour à tous.

Je n'ai pas compris grand chose à ma leçon.

Déjà mon premier problème est définir "l'ensemble quotient". Apparemment c'est l'ensemble des classes d'équivalences de E par R quand l'ensemble quotient est noté E/R.
Le truc c'est que dans des exos, il arrive que la question soit "Determiner l'ensemble quotient C/~" (par exemple). Et du coup je sais pas du tout ce qu'on doit faire.
Dans l'exemple que j'ai donné, ~correspond à une relation induite telle que x~y<=>f(x)=f(y)
(déjà, meme ça j'ai pas compris...)
et on a f une application de C dans f qui à t associe i(t-t[barre])

Ensuite j'ai un probleme concernant certaines notions, comme ensemble des minorants et des majorants par exemple.
Quand on a dans R, I=[0,1[ et J=]0,+inf[ et S=(n-1/n)/(n+1/n)
et de ces trois relations, je dois donner l'ensemble des majorants, minorants, la borne sup, la borne inf, le plus petit element et le plus grand.

Merci d'avance

[Nightmare]

Salut,

Concernant les classes d'équivalences :

Le principe d'une relation d'équivalence, c'est d'identifier entre eux des entités sous réservent qu'ils soient liées par une certaine relation.

La classe d'équivalence d'un élément donné est alors l'ensemble de tous les éléments qui sont en relation avec lui.

Si par exemple les éléments sont les humains et la relation d'équivalence "être de même taille que", alors ta classe d'équivalence est l'ensemble de toutes les personnes qui ont la même taille que toi. Ma classe d'équivalence est l'ensemble de toutes les personnes qui ont la même taille que moi. Si toi et moi avons la même taille, nous avons la même classe d'équivalence.

Il est alors naturel de considérer l'ensemble de toutes les classes d'équivalences possible, qui est donc un ensemble d'ensembles. C'est ce qu'on appelle l'ensemble quotient.

Avec l'exemple des tailles, l'ensemble quotient est composé de tous les ensembles de gens mesurant une même taille fixée. Par exemple l'ensemble quotient contient l'ensemble de tous les gens qui mesurent 1m70. Il contient aussi l'ensemble de tous les gens qui contient 1m81 etc.

Pour un exemple numérique : On considère dans N la relation n ~ m n et m ont le même reste dans la division par 4.

Il existe alors 4 classes d'équivalences : L'ensemble des entiers qui ont pour reste 0 dans la division par 4, l'ensemble de ceux qui ont pour reste 1 etc. jusqu'à 3.

L'ensemble quotient a donc 4 éléments qui sont ces 4 classes d'équivalences. Si certaines propriétés sont vraies pour tous les éléments d'une même classe, il peut être alors intéressant de travailler sur la classe entière et non sur ses éléments, d'où l'intérêt d'une telle notion.

[Yozamu]

Merci, c'est beaucoup plus clair. Il reste cependant deux zones d'ombre:

Pour un exemple numérique : On considère dans N la relation n ~ m n et m ont le même reste dans la division par 4.

Il existe alors 4 classes d'équivalences : L'ensemble des entiers qui ont pour reste 0 dans la division par 4, l'ensemble de ceux qui ont pour reste 1 etc. jusqu'à 3.

Dans ce cas, comment note-on l'ensemble quotient? Je veux dire, le "résultat".

L'ensemble quotient a donc 4 éléments qui sont ces 4 classes d'équivalences. Si certaines propriétés sont vraies pour tous les éléments d'une même classe, il peut être alors intéressant de travailler sur la classe entière et non sur ses éléments, d'où l'intérêt d'une telle notion.

Je ne parviens pas vraiment à comprendre l'interet de cette notion

[Nightmare]

On peut noter par exemple la classe de x par cl(x).

Alors l'ensemble quotient E/~ est l'ensemble {cl(x1), cl(x2),...,cl(xi),...} où les xi décrivent E. Il est possible que cl(xi)=cl(xj) pour certains i et j.

Par exemple, dans le cas où l'on prend N et la relation R="avoir le même reste dans la division par 4" alors N/R = {cl(0) ; cl(1) ; cl(2) ; cl(3)}={4N ; 4N+1 ; 4N+2 ; 4N+3} où 4N+i désigne l'ensemble des {4n+i, n décrivant N}.

Comme je l'ai dit, l'intérêt de l'introduction des classes d'équivalences est que beaucoup de propriétés liées à la relation considéré sont alors vraies pour tous les membres d'une même classe. Du coup, plutôt que de travailler sur tous les éléments de la classe, il suffit de travailler sur un représentant quelconque de cette classe, on pourra alors étendre tous les résultats obtenus à l'ensemble des éléments de la classe.

[Yozamu]

D'accord, merci pour les explications