Algèbre multilinéaire

par **minidiane** » 22 Fév 2009, 18:53

Ah oui d'accord désolé je n'avais pas du tout pensé à sortir le a.
Merci pour les explications.

par **leon1789** » 22 Fév 2009, 18:58

Joker62 a écrit:Edit : Sorry Léon

Ouais, je t'ai grillé de quelques secondes ! :ptdr:

Personnellement, au lieu de considérer tous les vecteurs du sous espace vectoriel R.Id, je prend une famille génératrice, i.e. Id seulement, comme ça je n'ai plus de paramètre multiplicatif

.
Lorsque A=id, l'égalité

équivaut assez clairement à

!
(si c'est pas clair, c'est qu'il y a un gros problème de compréhension)

Et puis, je vérifie rapidement pour voir si je ne me suis pas trompé, que l'orthogonal trouvé est bien de dimension n²-1 ... voire même qu'il est bien un supplémentaire de R.Id ...

par **minidiane** » 22 Fév 2009, 19:09

Pour la dernière question je sèche complètement, pouvez vous encore m'aider svp?

par **Joker62** » 22 Fév 2009, 19:21

Léon, tu dis que tu vérifies que c'est bien un hyperplan mais ça n'a rien d'une vérification si ? c'est une conséquence plutôt ?

Pour la dernière prend un élément de chaque, calcul leur produit scalaire et vérifie que ça fait 0.
Pour la projection orthogonale ben ça va découler de la caractérisation du projeté.

Soit u un vecteur de Mn(R) son projeté v sur Sn(R) on doit avoir
v Sn(R)
et u - v appartient à l'orthogonal de Sn(R) qui bizarrement se calcul juste avant :o

par **leon1789** » 22 Fév 2009, 19:23

minidiane a écrit:3) Montrer que les sous-espaces Sn(R) et An(R) (désignant les matrices symétriques et antisymétriques) sont orthogonaux.

Comment se caractérisent
les matrices symétriques ?
les matrices antisymétriques ?
deux espaces orthogonaux ?
deux matrices orthogonales ?

par **minidiane** » 22 Fév 2009, 19:29

les matrices symétriques ? tA=A
les matrices antisymétriques ? tA=-A
deux espaces orthogonaux ? produit scalaire = 0
deux matrices orthogonales ? je sais pas trop

Voilà ce que je viens de faire:

Soit A1 dans Sn(R) et A2 dans An(R)

=
Tr(tA1.A2)=Tr(tA2.A1)
Tr(A1.A2)=Tr(-A2.A1)

par **leon1789** » 22 Fév 2009, 19:30

Joker62 a écrit:Léon, tu dis que tu vérifies que c'est bien un hyperplan mais ça n'a rien d'une vérification si ? c'est une conséquence plutôt ?

Je ne comprends pas tout à fait ce que tu veux dire.

On sait que l'orthogonal de R.Id (de dimension 1) est un hyperplan (de dimension n²-1).

Par ailleurs, on dit que l'orthogonal est l'ensemble des matrices de trace nulle. Or cet ensemble est un ss-ev de dimension n²-1 (tous les coeff de la matrice sont libres sauf le dernier en bas à droite, par exemple). Or n²-1 colle avec n²-1 ! ok.

Quand on répond que l'orthogonal est l'ensemble des matrices dont les éléments diagonaux sont tous nuls, cela donne un ss-ev de dimension n²-n , et ça ne colle pas avec n²-1. (...sauf si n=1 :id:)

par **leon1789** » 22 Fév 2009, 19:32

minidiane a écrit:les matrices symétriques ? tA=A
les matrices antisymétriques ? tA=-A

oui

minidiane a écrit:deux espaces orthogonaux ? produit scalaire = 0

produit scalaire de quoi précisément ?

par **Joker62** » 22 Fév 2009, 19:32

Je pense que tu as oublié les propriétés essentielle de la Trace, va donc faire un tour sur Wiki

par **minidiane** » 22 Fév 2009, 19:34

Joker62 a écrit:Je pense que tu as oublié les propriétés essentielle de la Trace, va donc faire un tour sur Wiki

Ah oui j'ai oublié d'utiliser le fait que Tr(tA)=TR(A) c'est ça?

par **Joker62** » 22 Fév 2009, 19:35

En fait ce qui me chagrinait c'est que le fait que ce soit un hyperplan venait directement du fait que la Trace soit une forme linéaire.
Donc je voyais pas le principe de la vérification ( Vérifier que ça concorde mais pas pour autant qu'on ait bon ) avec le fait que ce soit une conséquence

Pour ma part c'était une conséquence car on s'y attendait.
Mais toi t'es parti du point de vue que V = était de dimension 1 pour en déduire que l'orthogonal était forcément un hyperplan d'où la vérification par la suite :o

Complexe dis donc :p

par **minidiane** » 22 Fév 2009, 19:36

leon1789 a écrit:
produit scalaire de quoi précisément ?

Le produit scalaire des matrices symétriques et antisymétriques

par **leon1789** » 22 Fév 2009, 19:36

minidiane a écrit:Ah oui j'ai oublié d'utiliser le fait que Tr(tA)=TR(A) c'est ça?

oui.

minidiane a écrit:Le produit scalaire des matrices symétriques et antisymétriques

Essaie de démontrer que tr(tA.B) = -tr(tA.B) lorsque A est symétrique et B antisymétrique.

allez, un début :
tr(tA.B) = -tr(tA.tB) = -tr(t(B.A)) = ...

par **Joker62** » 22 Fév 2009, 19:37

minidiane a écrit:Ah oui j'ai oublié d'utiliser le fait que Tr(tA)=TR(A) c'est ça?

Ou bien que Tr(aA) = aTr(A) et que Tr(AB) = Tr(BA)

par **leon1789** » 22 Fév 2009, 19:40

Joker62 a écrit:Mais toi t'es parti du point de vue que V = était de dimension 1 pour en déduire que l'orthogonal était forcément un hyperplan d'où la vérification par la suite

Complexe dis donc :p

:hein: Complexe ? :hein:

par **minidiane** » 22 Fév 2009, 19:43

leon1789 a écrit:oui.

Essaie de démontrer que tr(tAB) = -tr(tAB) lorsque A est symétrique et B antisymétrique.

allez, un début :
tr(tAB) = -tr(tAtB) = tr(t(BA)) = ...

tr(tAB) = -tr(tAtB) = tr(t(BA)) =tr(-BA)=-tr(BA)=-tr(BtA)=-tr(tAB)?

par **Joker62** » 22 Fév 2009, 19:46

Je disais complexe pour ma réaction par rapport à ma phrase en fait
Je fais des histoires pour rien quoi :p

par **leon1789** » 22 Fév 2009, 20:28

tr(tA.B) = -tr(tA.tB) = -tr(t(B.A)) = -tr(B.A) = -tr(B.tA) = -tr(tA.B)

ok ! (tu es capable de justifier chaque égalité, hein ?)

Ainsi tr(tA.B) = 0 , d'accord ?

par **minidiane** » 22 Fév 2009, 20:37

Oui merci.

par **minidiane** » 22 Fév 2009, 20:45

Joker62 a écrit:Pour la projection orthogonale ben ça va découler de la caractérisation du projeté.

Soit u un vecteur de Mn(R) son projeté v sur Sn(R) on doit avoir
v Sn(R)
et u - v appartient à l'orthogonal de Sn(R) qui bizarrement se calcul juste avant

Je n'ai pas très bien compris là

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