Il ya au moins trois trigonométries , la trigonométrie circulaire (classique)
, la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie lemniscatique.
avec des formules plus compliquées que les formules des trigonométries
circulaires ou hyperboliques.
il y a aussi la trigonométrie sphérique où l'espace de points est une variété
(surface) de dimension 2.
quelques remarques
le cercle est évidemment fascinant. Il y a un paramètrage du cercle
bijectif, non bicontinu à partir de
difficile de voir si le cercle se "referme" ou non, le point de raccord
étant point-asymptote.
La trigonométrie circulaire et hyperbolique ont des formules
d'addition semblables car elles communiquent via les fonctions holomorphes
sin(iz)= i sh(z)
cos(iz)=ch(z)
tan(iz)=i th(z)
Les formules de la trigonométrie circulaire viennent du fait que l'exponentielle complexe est un morphisme.
On en déduit le groupe commutatif des rotations opérant sur le cercle.
Je ne sais plus, si dans un exposé cohérent, l'exponentielle complexe
est étudiée préalablement au groupe des rotations .
A-t-on un groupe similaire de transformations concernant l'hyperbole ?
Géométriquement , l'hyperbole, par adjonction d'un seul point à l'infini
devient ,topologiquement, une ellipse (les deux branches se recollent). Ce raccord n'est pas métrique. Il n'utilise pas la notion de distance. On perd la longueur de la courbe.
Le nombre
Le nombre
Si l'on souhaite unifier les différentes trigonométries sous un habillage axiomatique, quelles propriétés caractéristiques retenir ? :zen: :
- faut-il garder un groupe de transformations, semblables au groupe des rotations pour le cercle ?
à voir si ce groupe existe en trigonométrie hyperbolique et lemniscatique.
La courbe serait alors une orbite, sous l'effet d'un groupe de transformations,
qui lui donnerait une structure de variété de dimension 1, connexe.
Faut il parler de groupe de Lie ?
La courbe doit elle admettre un revêtement, au sens de la topologie algébrique ?
- faut il définir les lignes trigonométriques (sinus,cosinus,etc..) comme les coordonnées d'un point courant, sur la ligne courbe, paramétrée par l' abscisse curviligne ?
Les différents sinus sont définis comme la fonction x=sin(y)
qui est la fonctionréciproque des quadratures
- Quelle doit être la nature de l'arc de courbe ? un arc de Jordan ?
Est-ce que cet arc peut avoir un groupe fondamental
différent du groupe
plusieurs boucles comme la lemniscate en forme de
-les différentes constantes que l'on peut obtenir pour demi-périmètres
de ces courbes, à l'instar de
- une trigonométrie axiomatisée peut elle encore mesurer
les angles ? et que se passerait-il s'il y avait des groupes de transformations
sur l'espace de points dont la loi de composition ne soit pas commutative ?
- y aurait-il une trigonométrie qui donnerait des formules pour
Il y a une transformation du plan complexe, l'inversion,
qui envoie la lemniscate sur l'hyperbole équilatère.
Peut-on prendre, si l'on souhaite présenter une version axiomatique de la trigonométrie, les propriétés de l'inversion comme le paradigme
(l'exemple type) d'un morphisme ?
Enfin, que se passe-t-il si l'on considère des noeuds de l'espace euclidien
voilà quelques questions qui montre que le domaine trigonométrique n'est pas dénué d'intérêt. :doh: