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Salut. C'est uniquement un problème de définition (donc sans grand intérêt) : la tendance majoritaire à l'heure actuelle est plutôt de considérer que la terme "anneau" désigne un anneau unitaire (et d'utiliser le terme de "pseudo anneau" dans le cas non unitaire). Par contre, je ...

En fait, c'est assez immédiat : vu les n oscillations entre -1 et 1 que fait T_n sur l'intervalle |-1,1] , tout polynôme P tel que P\big([-1,1]\big)\!\subset\![-1,1] est tel que l'équation P(x)\!=\!T_n(x) admet au moins n racines (comptées avec ordre de multiplicité) sur |-1,...

Salut, J'ai l'impression que le "plus grand" polynôme de degré n vérifiant l'hypothèse est le n -ième polynôme de Tchebychev T_n : si P\!\in\!{\mathbb R}_n[X] est tel que \forall x\!\in\![-1,1],\ P(x)\!\in\![-1,1] alors \forall x\!\geqslant\!1,\ P(x)\!\leqslant\!T_n(x&#...

Ma langue à fourchée : ce que je voulais écrire n'est pas "deux cotés adjacents du carré et le centre" mais "deux sommets adjacents et le centre" où le "centre" désigne (entre autre) le point d'intersection des diagonales du carré et l’hypoténuse désigne le coté opposé ...

Salut, Le triangle formé de deux cotés adjacents du carré et de son centre est isocèle rectangle avec deux angles de \alpha/2 et une hypoténuse de a . En utilisant la relation duale de la formule des cosinus on en déduit que 0=\cos(\pi/2)=-\cos^2(\alpha/2)+\sin^2(\alpha/2)\co...

Salut, Lorsque x tend vers +\infty , f_n(x) est équivalent à \dfrac{1}{2^n}x (preuve par récurrence) donc f_n(x)\!-\!\sqrt{x} tend vers +\infty et cela prouve que la suite (f_n)_{n\geqslant 0} ne converge uniformément vers x\to\sqrt{x} sur aucun intervalle [M,+\infty[ .

Salut,
Soit j'ai pas bien compris les règles, soit 'est assez simple : le premier joueur commence par jouer pile au centre du disque puis, systématiquement, il joue à l'endroit diamétralement opposé à celui où vient de jouer son adversaire. Sa victoire est assurée.

Salut,
Par définition, un espace compact est séparé (dans la définition francophone) . . .

Salut, Si on prend par exemple p=4 (non premier) et k=2, (qui divise p) alors k divise {p\choose k}\!=\!6 . Donc il n'y a pas de contradiction à ton hypothèse. Il y a éventuellement plus simple, mais on peut commencer par montrer que, pour tout nombre premier p, la valuation p-adique de {n\choose k}...

Salut,
Lorsque tu dérive la fonction par rapport à , je ne comprend pas d'où provient ton .

Salut,
Pour je pense avoir la preuve que la seule solution est , et je conjecturerais bien qu'il en va de même dans le cas général. Sauf que ma preuve ne me semble pas facilement généralisable à tout .

Salut, J'ai pas regardé le reste, mais si ta preuve est basé sur ça : En posant z=g(x) . . . on obtient g(f(z))=z, càd gof=I . alors c'est incomplet vu que tu ne prouve l'égalité g(f(z))=z que pour certains réels z et pas pour tous. Il faudrait avoir la surjectivité de la fonction g pour que ce soit...

Salut, Pour le (c) (par exemple), ton ensemble, c'est l'ensemble des "trucs" qui peuvent s'écrire sous la forme 1/k avec k dans N*, c'est à dire 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . Et très clairement, à part 1, ces "trucs ne sont pas des entiers, mais des rationnels. Et il est tout aussi claireme...

Salut, Autre exemple : An = l'ensemble des entiers naturels multiple de n. On peut aussi noter que si non seulement les intersections finies sont non vides, mais qu'on sait aussi qu'une (au moins) de ces intersection finie est de cardinal fini alors l'intersection globale est non vide. Donc les cont...

Salut, 2^x=\exp\!\big(x\ln(2)\big) et, comme la dérivée de x\mapsto\exp(\lambda x) est x\mapsto\lambda\exp(\lambda x) c'est qu'une primitive de x\mapsto\exp(\lambda x) est x\mapsto\frac 1\lambda\exp(\lambda x) (avec \lambda une constante réelle non nul...

Ben si, ça marche tout le temps et c'est même la majoration triviale de Un lorsque x est entre 0 et M vu que le numérateur est majoré par M et que le dénominateur est minoré par n^2. Après, effectivement, une étude de fonction permet de faire un peu mieux comme majoration, mais vu que ce n'est pas u...

Salut, Certes le maximum de Un sur [0,+oo[ est obtenu en x=n (et vaut 1/n), sauf que là, ce dont le corrigé te parle, c'est d'un majorant de Un sur [0,M[ qui, lorsque n>M, s'avère être plus petit petit que le max sur [0+oo[. Bref, sur deux intervalles différents, les maximums d'une même fonctions pe...

Salut, Pour n fixé, et P(X)\!=\!\prod_{k=1}^n(X\!-\!x_k) on a : \sum_{m\geqslant 0}\!F_{n,m}X^m=\sum_{m\geqslant 0}\!\Big(\sum_{k=1}^n\dfrac {x_k^m}{P'(x_k)}\Big)X^m)\sum_{k=1}^n\dfrac {1/P'(x_k)}{1\!-\!x_kX}=\dfrac{N(X)}{D(X)} avec...

Salut, Une idée qui m'a traversé l'esprit, ce serait d'essayer de montrer la contraposée. : d'après moi, si on suppose que A n'est pas dénombrable alors on devrait pouvoir trouver un intervalle ouvert non vide contenu dans A . L'ensemble des irrationnels est non dénombrable mais ne contient aucun in...

Salut, Si on pose \sigma\!=\!x\!+\!y\!+\!z\ ;\ \tau\!=\!xy\!+\!yz\!+\!zx\ ;\ \pi\!=\!xyz , via les identités de Newton, l'équation s'écrit \sigma (3\sigma^6- 21\pi\sigma^4 + 35\tau\sigma^3+35\pi^2\sigma^2- 105\pi\tau\sigma + 70\tau^2) = 0 ce qui permet de simplifier par \sigma supposé non nu...