Valeurs propres complexes d'une matrice réelle

[Anonyme]

Salut à tous, j'aimerais svp avoir des éclaircissements sur la notion de valeur propre complexe d'une matrice réelle, car il règne actuellement un flou terrible dans ma tête autour de ça !

- Déjà, peut-on dire sans crainte "lambda vp de A" où A réelle et lambda complexe, ou y'a-t-il des cas où ça ne marche pas ?
- Qu'est-ce que ça signifie concrètement ?
- N'y a-t-il pas un problème ? Par exemple : Si lambda vp, on a Ax=lambda*x non ? Or x appartient à R^n, donc Ax aussi, or lambda*x n'appartient pas à R^n...

Désolé si j'ai dit plein d'absurdités :briques:

[Anonyme]

Oups, trompé de section désolé, quelqu'un peut-il déplacer mon sujet svp ?

[Ben314]

Salut,
Tout d'abord, quand tu as une matrice à coefficients réels, ben, si tu as envie, tu as évidement le droit de dire qu'elle est à coefficients complexe vu que tout les réels sont des complexes.

Ensuite, l'intérêt de voir ta matrice comme une matrice à coeff complexe, c'est qu'il y a un "gros" théorème qui dit que les polynômes à coeff complexes ont forcément des racines dans C.
Par exemple le polynôme X²+1 à coeff réels (donc à coeff complexes !!!) n'a pas de racine dans R alors qu'il en a dans C.
Cela signifie que la matrice A=((0 -1) (1 0)) dont le polynôme caractéristique est X²+1 n'as pas de valeur propre dans R : on ne peut donc RIEN FAIRE. Alors que, si on regarde cette matrice comme à coeff dans C et donc que l'on cherche les racines de X²+1 dans C, ben là il y a des valeurs propres, à savoir i et -i.
EVIDEMENT, les vecteurs propres associées à i et -i ne vont pas être à coordonnées réelles, mais à coordonnées complexe vu que, pour les trouver, tu va résoudre A.X=i.X et A.X=-i.X

[Anonyme]

Merci beaucoup :++: