Inégalité

[myzero]

Bonjour,
pourriez vous m'aider de faire cet exo:
Exo:
Données:
a, b, c > 0 et 1/a + 1/b + 1/c = 1
Démontrer que:
sqrt(a+b.c) + sqrt(b+a.c) + sqrt(c+a.b) >= sqrt(a.b.c) + sqrt(a) + sqrt(b) + sqrt(c)

notice: sqrt = racine

Merci.

[arnaud32]

nous avons deja a,b,c qui sont positifs
donc 1/a,1/b et 1/c sont aussi positifs
de plus 1/a = 1-1/b-1/c 0)

ensuite on va etuidier la fonction suivante pour 1>q>0:
definie sur R+ par:
f(x) = sqrt(x+q) - sqrt(x) - q
on a
f'(x) = -1/(2*sqrt(x+q)) +1/(2*sqrt(x)) = 1/2 * ( sqrt(x+q) - sqrt(x) ) / ( sqrt(x+q) * sqrt(x) )
sqrt etant croissante et q positif sqrt(x+q) > sqrt(x)
et f' est positive sur R*+
on en deduit que f est croissante et que f(x) >= f(0) = sqrt(q) - q
or 0q et f(x) >= 0 pour tout x.
ie sqrt(x+q) >= sqrt(x)+q

on utilise maintenant cette inégalité avec
x= 1/(b*c) et q = 1/a
x= 1/(a*c) et q = 1/b
x= 1/(a*b) et q= 1/c

sqrt(1/(b*c)+1/a) >= sqrt(1/(b*c))+1/a
sqrt(1/(a*c)+1/b) >= sqrt(1/(a*c))+1/b
sqrt(1/(a*b)+1/c) >= sqrt(1/(a*b))+1/c

on somme membre a membre
sqrt(1/(b*c)+1/a) + sqrt(1/(a*c)+1/b) + sqrt(1/(a*b)+1/c) >=
sqrt(1/(b*c))+1/a + sqrt(1/(a*c))+1/b + sqrt(1/(a*b))+1/c

or 1/a+1/b+1/c= 1
donc
sqrt(1/(b*c)+1/a) + sqrt(1/(a*c)+1/b) + sqrt(1/(a*b)+1/c) >=
1 + sqrt(1/(b*c)) + sqrt(1/(a*c)) + sqrt(1/(a*b))

on multiple les deux membres par le nombre positif sqrt(a*b*c)
sqrt(a+b*c) + sqrt(b+a*c) + sqrt(c+a*b)>=
sqrt(a*b*c) + sqrt(a) +sqrt(b) + sqrt(c)

cqfd

[Olympus]

Salut !

Ta dérivée est fausse, j'ai pas la temps de dire plus mais tu peux vérifier vite fait sur Wolfram .

Sinon, déjà traité ici : http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=110580 .

[arnaud32]

salut,

déolé pour l'erreur.