Bonjour,
pourriez vous m'aider de faire cet exo:
Exo:
Données:
a, b, c > 0 et 1/a + 1/b + 1/c = 1
Démontrer que:
sqrt(a+b.c) + sqrt(b+a.c) + sqrt(c+a.b) >= sqrt(a.b.c) + sqrt(a) + sqrt(b) + sqrt(c)
notice: sqrt = racine
Merci.
1 exo d'inégalité, svp !!! URGENT
6 messages
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par Ben314 » 15 Oct 2010, 23:20
Salut,
^2\ <br />\geq\ 0)
bc\ <br />=\ \Big(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)bc\ <br />=\ c+b\ \geq\ 2\sqrt{bc})
^2)
Par symétrie, on a :
\sqrt{abc}\ <br />=\ \sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})
Par symétrie, on a :
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Olympus » 15 Oct 2010, 23:24
Bonsoir !
Petit lemme : \in \mathbb{R}_+^4 \qquad : \qquad \left(x+y\right)\left(u+v\right) \geq \left( \sqrt{ux} + \sqrt{vy} \right)^2)
.
Preuve : L'inégalité est équivalente à
, qui elle même n'est autre que ^2 \geq 0)
.
Application :
\left(a+c\right)}{a} &\geq& \frac{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}{a} \\<br />\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b} &\geq& \frac{\left(b+\sqrt{ca}\right)^2}{b} \\<br />\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c} &\geq& \frac{\left(c+\sqrt{ab}\right)^2}{c}<br />\end{array}\right.)
\left(a+c\right)}{a}} &\geq& \sqrt{a} + \sqrt{\frac{bc}{a}} \\<br />\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b}} &\geq& \sqrt{b} + \sqrt{\frac{ca}{b}} \\<br />\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c}} &\geq& \sqrt{c} + \sqrt{\frac{ab}{c}} \\<br />\end{array} \right.)
On somme et on a notre inégalité .
Petit lemme :
Preuve : L'inégalité est équivalente à
Application :
On somme et on a notre inégalité .
par Olympus » 15 Oct 2010, 23:25
Salut Ben :zen:
Tiens, toi aussi t'es passé par la forme homogénéisé :)
Tiens, toi aussi t'es passé par la forme homogénéisé :)
par Ben314 » 15 Oct 2010, 23:38
Olympus a écrit:Salut Ben :zen:
Tiens, toi aussi t'es passé par la forme homogénéisé
Oui, mais aprés coup, j'ai tout réécrit (pour embrouiller le client... :marteau: )
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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