Réflexion sur le Hasard du Loto

[Cromagnon47]

Bonjour à tous,
Nouveau sur le forum, je lance une Réflexion sur le Hasard du Loto.

Tous le monde le sait, il y a 1 906 884 combinaisons de 5 numéros possibles parmi les 49 numéros qui sont sur la ligne de départ, sans tenir compte du numéro chance. 1 906 884 combinaisons, c'est ENORME ! Comme j'ai du mal a m'imaginer ce que ça représente, j'ai fais une comparaison : ça représente un piquet tous les 30 cm sur la distance Paris Toulouse ou encore si on joue 1 combinaison par jour, il faut 5 220 années pour les jouer toutes.
En résumé, 1 906 884 combinaisons c'est ENORME de chez ENORME.

Ensuite, depuis la nouvelle formule du loto le 6 Octobre 2008, il y a eu 2 724 tirages, soit 0.14% de toutes les combinaisons possibles. C'est vraiment pas beaucoup !

D'ou ma question : Vu le très faible nombre de combinaison déjà sorti par rapport à l'immensité des toutes les combinaisons possibles, pensez-vous qu'une combinaison déjà sortie puisse ressortir à nouveau ?

Merci de vos réponses et à bientôt.

[Ben314]

Salut,
Vu la modélisation mathématique actuelle de ce qu'est "le hasard" (modélisation qui a fait largement ces preuves dans tout les domaines où elle a été utilisée), le fait qu'une certaine combinaison soit, ou ne soit pas, déjà sortie n'a absolument aucune influence concernant le fait que cette combinaison sorte ou pas au prochain tirage. De façon plus générale, de savoir quelles boules ont été tirées lors des précédents tirages ne donne pas la moindre information concernant ce qu'il va sortir la prochaine fois : le hasard n'a pas de mémoire.

[Cromagnon47]

Bonjour Ben314,
Merci de ta réponse. Retraité, j'ai un peu du temps pour jouer avec les numéros du loto.
C'est intéressant "le hasard n'a pas de mémoire", car j'ai remarqué l'inverse, certains phénomènes ressortent peu de temps après. Aucunes formulations mathématique, mais juste une impression que le hasard s'équilibre. Ou alors, c'est une fausse impression. Et je posais la question car il existe 2 tirages (5 numéros) qui sont ressortis, je suis sur le cul quand on pense qu'elles avaient une chance infime de ressortir.

[Ben314]

J'ai la flemme de faire le calcul, mais c'est les mêmes que ceux du paradoxe des anniversaires : d'un coté, si tu regarde uniquement deux tirage, la proba; qu'ils soient les mêmes est extrêmement faible,, mais d'un autre coté, si tu as par exemple 1 000 tirages, alors il y a 500 000 façon de les grouper par deux ce qui risque de compenser la faiblesse de la première proba.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Prenons notre courage à deux mains et faisons le calcul.

Le nombre d'histoires possibles de 2724 tirages est , toutes équiprobales.
Le nombre d'histoires possibles où il n'y a pas deux tirages identiques est .
On va estimer le rapport entre les deux. Pour cela on calcule une approximation du logarithme de ce rapport. En utilisant l'approximation , il vient



Ce qui, en utilisant le d.l. de au voisinage de 0, fait à peu près . Il y a donc à peu près 13,5% de chances qu'il n'y ait aucun doublon en 2724 tirages, et 86,5% de chances qu'il y ait au moins un doublon - sauf erreur.

[Cromagnon47]

Bonsoir,
Merci pour vos réponses même si c'est du chinois pour moi.
Je suis juste ébahi, ahuri, stupéfait, éberlué qu'il y ai 2 tirages qui soient ressortis sur les 2724 existants, sachant que les 2724 tirages existants représentent une infime partie des 1 906 884 combinaisons. Je me dis que les 2 tirages ressortis sont une infime partie d'une infime partie, quasi inexistante mais bien réel néanmoins.
Autre chose, pensez-vous que le hasard puisse s'équilibrer, tendre vers zéro.
Et encore autre chose, pensez-vous que des phénomènes aléatoires identiques peuvent intervenir les uns à la suite des autres.
Merci.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Ce n'est pas du chinois, c'est juste des mathématiques. Un petit calcul de probabilités utilisant la formule de Stirling pour pouvoir calculer approximativement avec des grandes factorielles.
Ce calcul montre qu'il y a environ 86,5% de chances qu'il se produise au moins un doublon dans les 2724 tirages. Qu'est-ce qui te pose problème dans ce calcul ?
Un petit prolongement de ce calcul montre qu'il y a environ 58% de chances qu'il se produise au moins deux doublons dans les 2724 tirages. Il n'y a donc pas à s'étonner que l'on constate ces deux doublons.

[catamat]

Bonjour

Au sujet du calcul de Gabuzomeu, merci de l'avoir fait il est très intéressant.

Je l'ai refait et je trouve le même résultat.

J'apporte juste une précision, pour le dl de ln(1+x) au voisinage de 0, il faut le prendre à l'ordre 2, au moins, pour avoir un résultat utilisable ou alors utiliser la touche ln de la calculatrice, on trouve -1.9477 (en prenant l'ordre 2 du DL) ce qui en prenant l'exponentielle donne environ 14,3% soit 85,7% pour la proba d'avoir au moins un "doublon"

[Cromagnon47]

Bonjour,
Merci pour vos calculs de probabilités, matière dans laquelle je reste nul. C'est vous les pro et j'accepte vos calculs même si j'ai du mal a m'y faire. 85% de chance d'avoir un doublon au tirage du loto, j'ai du mal. Je vois les choses de cette façon, dites-moi si je fais erreur :
On a 2 catégories, la A et la B.
La catégorie A contient 3 nombres (1, 2 et 3).
La catégorie B contient 2100 nombres (4, 5, 6, etc, jusqu'a 2104).
On choisi (au hasard) un nombre entre 1 et 2104.
Je pense qu'il y a toutes les chances pour que le nombre choisi appartienne à la catégorie B.
Pour moi, les 2 tirages ressortis, c'est comme-ci le nombre choisi appartenait à la catégorie A.
Est-ce que mon raisonnement est faux ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pour moi, les 2 tirages ressortis, c'est comme-ci le nombre choisi appartenait à la catégorie A.
Est-ce que mon raisonnement est faux ?

Ce n'est pas un raisonnement, c'est une impression. Et cette impression est fausse. Ne pas faire de doublon, c'est obstinément tirer en dehors des résultats déjà sortis. Et si on fait 2724 tirages, on est très loin d'être assuré de tirer à chaque fois en dehors des résultats déjà sortis.
Au passage, 2100 + 3, ça ne fait pas 2104.

Une petite simulation sera plus parlante pour toi qu'une démonstration ? Voici un petit programme python :

Code: Tout sélectionner

import random as rd

def compte_doublons(n) :
    tirages = []
    doublons = 0
    for _ in range(n) :
        nouveau = rd.sample(range(49),k=5)
        nouveau.sort()
        if nouveau in tirages : doublons += 1
        tirages.append(nouveau)
    return(doublons)

def stat_doublons(n,p):
    liste_nb_doublons = [compte_doublons(n) for _ in range(p)]
    nb_0 = liste_nb_doublons.count(0)
    nb_1 = liste_nb_doublons.count(1)
    print ("Sur {} histoires de {} tirages :\n\
    {:.1%} présentent 0 doublon,\n\
    {:.1%} présentent 1 doublon,\n\
    {:.1%} présentent 2 doublons ou plus.".format(p, n, nb_0/p, nb_1/p, 1- (nb_0+nb_1)/p))


Un exemple d'éxécution :

Code: Tout sélectionner

%time stat_doublons(2724,1000)

Sur 1000 histoires de 2724 tirages :
13.0% présentent 0 doublon,
28.1% présentent 1 doublon,
58.9% présentent 2 doublons ou plus.
CPU times: user 1min 48s, sys: 43.1 ms, total: 1min 48s
Wall time: 1min 48s

[Cromagnon47]

Merci GaBuZoMeu pour ton petit programme Python et tes calculs de probabilités. Comme je suis un vieux de la vieille, je suis resté sur Turbo Pascal et encore... version 3.

[GaBuZoMeu]

Il n'est pas trop tard pour s'y mettre, à la fois à python (le programme que j'ai écrit n'a rien de sophistiqué) et aux rudiments de calculs de proba (il s'agit essentiellement de calculs combinatoires, pas beaucoup plus compliqués que celui qui aboutit à 1 906 884 pour le nombre de tirages possibles).
Ça te permettrait de te débarrasser d'impressions fausses.

[Cromagnon47]

Merci pour tes conseils, je vais essayer