Dérivées

[cdx01]

Bonjour, je m'appelle Christophe DEVAUX, j'ai 45 ans et je suis Projeteur en Mécanique. Il se trouve qu'aujourd'hui, je me replonge dans les dérivées dans un premier temps et les intégrales par la suite.

J'ai bien compris la notion de taux d’accroissement et de coefficient directeur de la tangeante. mais, si je prends par exmple f(x)=x², la dérivée est donc f'(x)=2x. Si je prends x=3 et que je calcule la dérivée, je trouve donc f'(3) = 2*3 = 6. J'ai du mal à comprendre, en regardant graphiquement, la corrélation entre la valeur de x et celle de la dérivée, surtout que f(3)=9.

Merci d'avance.

Cordialement.

[Lostounet]

Bonjour, je m'appelle Christophe DEVAUX, j'ai 45 ans et je suis Projeteur en Mécanique. Il se trouve qu'aujourd'hui, je me replonge dans les dérivées dans un premier temps et les intégrales par la suite.

J'ai bien compris la notion de taux d’accroissement et de coefficient directeur de la tangeante. mais, si je prends par exmple f(x)=x², la dérivée est donc f'(x)=2x. Si je prends x=3 et que je calcule la dérivée, je trouve donc f'(3) = 2*3 = 6. J'ai du mal à comprendre, en regardant graphiquement, la corrélation entre la valeur de x et celle de la dérivée, surtout que f(3)=9.

Merci d'avance.

Cordialement.

Bonjour M. Devaux, et bienvenue dans notre communauté!
Puisque vous êtes nouveaux, je vous propose de faire un tour dans le forum Guide d'Utilisation qui vous expliquera comment fonctionne le forum - et vous vous ferez une idée des différentes sections qu'il propose ; en effet cette section est d'habitude dédiée à la présentation des nouveaux membres.

Pour répondre à votre question, la dérivée en un point a, notée f'(a) est un nombre qui mesure "le virage de la courbe de la fonction de départ" au point a. En termes mathématiques, il s'agit de la pente de la tangente à la courbe au point
x = a.

Dans l'illustration suivante, nous avons la courbe de y = x^2
La droite qui se déplace est en fait la tangente en un point choisi arbitrairement: sa pente (son inclinaison) est exactement le nombre dérivée f'(x) en chaque point x.

Votre constat est pertinent puisque, comme vous le soulignez, la valeur de la fonction (par exemple f(3) = 9) en un point ne permet pas de savoir comment va se comporter la fonction au voisinage de ce point alors que la dérivée permet de savoir si la courbe va monter ou descendre !

Comment? La pente de la tangente est soit positive, soit négative (comme on le voit sur le dessin). Dans le cas positif, la courbe "monte" et la fonction est croissante.
Dans le cas contraire, elle "descend" !

Lorsque la pente est nulle, comme on le voit au point x = 0, *il se peut* que la fonction admette un maximum ou un minimum.

[cdx01]

Bonjour, merci pour votre réponse. J'ai encore besoin d'une précision. Si ma fonction f(x)=x² par exemple et que je considère dans un premier temps que (x+h)-x = 1 en prenant x=3, je trace mon triangle rectangle, j'ai donc comme ordonnée x=3, f(x)=9 et x=4, f(x)=16. Si maintenant je réduis la valeur de h pour tendre vers 0, graphiquement, comme la dérivée vaut f'(x)=2x, f'(x) tend vers 6, or 6 est en dessous de f(x)=9, je n'arrive pas à l'expliquer ou peut-être que mon raisonnement est mauvais.

Merci d'avance.

Cordialement.

[capitaine nuggets]

(...) si je prends par exmple f(x)=x², la dérivée est donc f'(x)=2x. Si je prends x=3 et que je calcule la dérivée, je trouve donc f'(3) = 2*3 = 6. J'ai du mal à comprendre, en regardant graphiquement, la corrélation entre la valeur de x et celle de la dérivée, surtout que f(3)=9.

Merci d'avance.

Cordialement.

Salut !

Graphiquement, f'(3) représente le coefficient directeur (ou la pente) de la tangente à la courbe représentative de f au point (3,f(3)). Ici, la tangente à la courbe représentative de f au point (3,f(3)) est y=f'(3)(x-3)+f(3)=6x-9.

[Lostounet]

Si ma fonction f(x)=x² par exemple et que je considère dans un premier temps que (x+h)-x = 1 en prenant x=3,

Il y a quelque chose qui n'est pas clair dans votre esprit concernant le nombre dérivé: dire que l'on prend "(x + h) - x = 1" n'a pas vraiment d'intérêt car h est un nombre qui peut être aussi petit que l'on veut. Ici vous l'avez pris égal à 1 (vous voyez bien que la valeur de x ne joue par, puisque (x + h) - x = x - x + h = h = 1). Bref, il faut abandonner cette écriture.

Il semble y avoir deux erreurs de compréhension.
La 1ère:

je trace mon triangle rectangle, j'ai donc comme ordonnée x=3, f(x)=9 et x=4, f(x)=16. Si maintenant je réduis la valeur de h pour tendre vers 0, graphiquement, comme la dérivée vaut f'(x)=2x

En fait votre erreur vient du fait que x = 3 et x = 4 sont trop loin l'un de l'autre !
L'écart entre ces deux points est d'une unité entière.
Je vais prendre x = 2 et x = 3 (pour vous expliquer l'erreur, c'est pareil avec 3 et 4).
Soit A(2;4) et B(3;9)

La pente de la droite (AB) n'est pas (a priori) la définition d'un nombre dérivé. Il faut vraiment que les points A et B soient infiniment proches l'un de l'autre.

Par exemple, si je travaille en a = 3, le point A(3; f(3)) est sur la courbe.
Je prends h un nombre positif (que je vais faire tendre vers 0) et je considère le point B(3 + h, f(3+h))

La pente de la droite (AB) vaut, par définition de la pente d'une droite passant par deux points:



Par développement:

Par simplification par h,




Maintenant, je vais faire tendre le nombre h vers 0. Cela revient à rapprocher les points A et B infiniment !
Lorsque A et B sont infiniment proches, (AB) a une pente qui s'approche de 6.

C'est ça le nombre dérivé f'(3).

Il est donc absurde de prendre x = 3 et x = 4 et travailler avec f(3) et f(4) puisque ces points ne sont pas infiniment proches et ne vous permettront pas de vous renseigner sur le comportement de la fonction aux alentours de 3.

Voici une illustration qui vous expliquera, sur une fonction plus compliquée, toute cette affaire:



Ici, à votre avis, laquelle des deux droites (AB) et (A'B) permet d'avoir une meilleure idée du comportement de la fonction au point 2?
C'est (A'B) dont la pente est plus proche de f'(2) (f désigne la nouvelle fonction).

, f'(x) tend vers 6, or 6 est en dessous de f(x)=9, je n'arrive pas à l'expliquer ou peut-être que mon raisonnement est mauvais.

Deuxième erreur de raisonnement: le nombre dérivé en un point n'a absolument rien à voir avec la valeur de la fonction en ce point. On peut avoir une fonction g avec g(3) = 0 et g'(3) = 392893759
Cela signifierait tout simplement qu'au point 3, la tangente au point 3 a une pente très très grande (la fonction augmente vraiment beaucoup autour du point 3). Avec quand même g(3) = 0 !


Une fois que vous avez compris cette définition du nombre dérivé, on peut désormais travailler avec.
* Lorsqu'en un point f'(a) > 0, la tangente est "croissante" et donc la fonction aussi
* Lorsqu'en un point f'(a) < 0, la tangente décroit et donc la fonction aussi
* Lorsque f'(a) = 0 la tangente est horizontale et la fonction "s'arrête un moment" (minimum/maximum/ou elle continue son trajet, on parle de point d'inflexion)

[cdx01]

Bonjour merci pour votre réponse complète, je comprends mieux maintenant.

Merci.

Cordialement.