Equation inverse de McKenzie

[Joruus]

Bonjour,

Je travaille sur l'équation de Mackenzie qui permet de déterminer la célérité d'un son à une profondeur donnée dans l'eau de mer en fonction de la température de l'eau, de sa salinité et de la profondeur.

Je cherche à inverser l'équation pour trouver la température de l'eau en fonction de la célérité, la salinité et de la profondeur. Cependant je me butte sur un polynôme de troisième degrés que je n'arrive pas à résoudre :

A x (1/B) = T + (C x T^2) + (D x T^3)

Merci pour votre aide

Source :
http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_sound#Speed_of_sound_in_liquids

[DamX]

Bonjour,

C'est un polynôme de degré 3, on peut inverser de façon analytique ce problème.

1) se ramener à une Equation du type X^3+pX+q=0 avec un changement de variable pour éliminer le terme en carré
2) utiliser les formules de Cardan qui donnent les solutions exactes de ce type d'équation.

attention selon les cas il peut exister trois solutions réelles, et donc si il y en a plusieurs qui sont positives cela veut dire quil y a plusieurs températures possibles pour les paramètres en entrée.

Damien

[Ben314]

Salut,
Je ne sais pas si les équation de cardan sont forcément la meilleure solution s'il s'agit d'un problème numérique.
Dans le cas où il y a trois racine réelle, on est obligé de raisonner avec des complexes et d'en extraire les racines cubiques ce qui est assez fastidieux si on n'a pas les librairies adaptées.
Donc je me demande si un truc style méthode des tangentes de newton n'est pas plus simple à mettre en oeuvre (aprés avoir fait une petite étude théorique pour determeiner le nombre de racines et leur localisation approximative).
En 4 ou 5 itérations d'un simple calcul réel on a en général une précision largement suffisante.

Mais évidement, tout dépend du contexte :
- Quelles sont valeurs possibles pour A, B, C, D ?
- Le but est-il d'avoir la (ou les) valeurs exactes des solutions (y compris sous une forme trés compliquée comme les résultat de Cardan) ou une simple valeur approchée ?
- Si c'est une valeur approchée, avec quel machine/langage compte-on faire les calculs ?

Rappel : dans le cas où les racines du polynôme de degrés 3 sont par exemple les entiers 1,2 et 5, les formules de cardans donnent les solutions sous une forme telle qu'il n'est pas du tout visible que ce sont des entiers : la seule façon de le voir, c'est soit avec du calcul numérique (machine à calculer donc retour à la solution approchée), soit de résoudre "à la main" l'équation du 3em degrés et de voir que les "racines évidentes" sont 1,2, 5.
Donc, à part "pour la beauté du résultat", elle ne sont en général pas d'une grande utilité (idem pour les formules de ferrari pour le 4em degré)

P.S. : Pour ceux que ça interesse, et dans l'objectif de "rendre à césar...", il est assez interessant de voir un peu l'historique des ces fameuses formules de Cardan et dans quelles conditions on leur a donné le nom "de Cardan" (et pas "de Tartaglia" ou "de del Ferro"... :triste: )

[Joruus]

Bonjour,

Je compte faire les calculs avec le langage Java.
Je cherche à avoir une valeur exacte des solutions.
Je cherche à avoir la même formule que Mackenzie :

c(T, S, z) = a1 +
(a2 * T) +
(a3 * T^2) +
(a4 * T^3) +
(a5(S - 35)) +
(a6 * z) +
(a7 * z^2) +
(a8 * T(S - 35)) +
(a9 * T * z^3)

Où aN sont des constantes

Cependant je cherche T en fonction de C, S et z

Du coup dans mon équation : A x (1/B) = T + (C x T^2) + (D x T^3)

soit A = c -A1 - A5 * (S-35) - A6 * z - A7 * z^2
soit B = 1 / ((A2 * (A8 * (S-35))) + (A9 * z^3))
soit C = A3
soit D = A4