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par **Strapeur** » 25 Nov 2013, 19:58

Consigne:sur une feuille A5 (21/14,8) Elisabeth veut découpé 2 rectangles dont les dimensions sont un nombre entier de cm. De plus , les deux rectangles ont le même périmètre et l'aire du second rectangle est le double du premier rectangle.
Il y a 5 solutions mais il faut trouver les rectangles en indiquant une démarche !

par **chombier** » 26 Nov 2013, 16:53

Strapeur a écrit:Consigne:sur une feuille A5 (21/14,8) Elisabeth veut découpé 2 rectangles dont les dimensions sont un nombre entier de cm. De plus , les deux rectangles ont le même périmètre et l'aire du second rectangle est le double du premier rectangle.
Il y a 5 solutions mais il faut trouver les rectangles en indiquant une démarche !

Ben déjà trouver deux rectangles dont la largeur et la longueur sont entières, avec le même périmètre et l'un a comme surface le double de l'autre, ce n'est pas évident !

Supposons qu'un rectangle ait comme demi-périmetre p et comme surface S. (p et S entiers).

l+L=p
lL = S

L = p - l = S / l
pl - l^2 = S
l^2-pl+S = 0 (polynome, a=1, b=(-p), c=S)

delta = p^2-4S

Pour que l et L soient rationnels, il faut que p^2-4S soit un carré.

Pour qu'ils soient entiers, il faut que p+sqrt(p^2-4S)) soit un nombre pair.

Prenons le second rectangle. Même périmètre, surface double.

Il faut donc que p^2-8S soit un carré et que p+sqrt(p^2-8S)) soit un nombre pair.

Il faut donc trouver un couple (p,S) tel que
p^2-4S soit un carré
p^2-8S soit un carré
p+sqrt(p^2-4S)) soit un nombre pair
p+sqrt(p^2-8S)) soit un nombre pair

Je n'efface pas pourtant je suis loin du compte et peut-être sur une fausse piste.

Bref, je ne suis pas sur qu'il existe deux rectangles qui vérifient ces contraintes. (conjecture)

par **chombier** » 26 Nov 2013, 17:34

Ok, en fait il en existe.
Si p = 7 et S = 6

p^2-4S = 25
p^2-8S = 1
p+sqrt(25) = 12
p+sqrt(1) = 8

Mais alors... de là à trouver une façon de les énumérer et de prouver qu'on n'en a pas oublié...

Evidemment si (p, S) est une solution, alors (kp, k^2 S) en est une aussi pour tout k entier naturel non nul.

par **chombier** » 26 Nov 2013, 17:35

Voici la liste des couples (p, S) inférieurs à 200 qui vérifient ces conditions :

(7 6) <- ce serait le plus petit : 1x6 et 4x3
(14 24)
(17 30)
(21 54)
(23 60)
(28 96)
(31 84)
(34 120)
(35 150)
(49 180)

par **mathafou** » 26 Nov 2013, 19:19

Bonjour,

ma solution :
soient donc a, b, c, d les dimensions entières des deux rectangles
a+b = c+d
ab = 2cd

posons x = a/c, y = b/c rationnels et éliminons d/c

2(x+y) = 2+ xy

le problème revient donc à trouver tous les points à coordonnées rationnelles sur la courbe
(E) xy - 2x - 2y + 2 = 0, qui est une hyperbole.
un point "trivial" est A : x=0, y = 1
soit donc une droite passant par A et de pente rationnelle t
tous les points à coordonnées rationnelles de (E) seront obtenus en faisant parcourir Q par t
cette droite a pour équation y = tx + 1
et en portant dans l'équation de (E) on trouve le deuxième point d'intersection (autre que A)
x = (2t+1)/t; y = 2t + 2

en posant t = p/q, p et q entiers et premiers entre eux, et en revenant aux variables initiales on a
a/c = (2p/q + 1)/(p/q) = (2p + q)/p
b/c = 2p/q + 2 = (2p + 2q)/q
comme p et q premiers entre eux, le PPCM des dénominateurs est pq
de sorte qu'on peut affirmer, à un facteur multiplicatif près, que

a = q(2p + q)
b = p(2p + 2q)
c = pq
et donc d = a + b - c = 2pq + q² + 2p² + 2pq - pq = q² + 2p² + 3pq

l'ensemble de toutes les valeurs de (a,b,c,d) sont

a = k(2pq + q²)
b = k(2p² + 2pq)
c = kpq
d = k(q² + 2p² + 3pq)

avec k, p, q des nombres quelconques dans Z*, PGCD(p,q) = 1
de plus q doit être impair sinon tout est divisible par 2 (et donc intégré dans le facteur k)

la fin est laissée au demandeur (il faut bien lui laisser un peu de travail), seules quelques valeurs de k, p et q sont à tester.
et ça donne bien les seules 5 solutions attendues.

par **Strapeur** » 28 Nov 2013, 11:28

Normalement il y a 5 possibilité !

par **mathafou** » 28 Nov 2013, 17:50

Strapeur a écrit:Normalement il y a 5 possibilité !

c'est bien ce que j'ai écrit : "les 5 solutions".

on peut les chercher "au pif' (en recensant tous les rectangles possibles de toutes les dimensions possible < 14x21 ce qui ne fait que 294 rectangles, facile avec un programme de les trier par périmètres et de calculer les aires)

ou en cherchant des valeurs de "delta" qui soient des carrés etc (chombier)

ou en générant directement que des rectangles candidats (c'est à dire une paire de rectangles de même périmètre dont l'un a une aire double de l'autre) sans limite de taille (ma méthode)
et en ne gardant que ceux "suffisemment petits"
et il en reste bien 5 de ces paires là.
remplacer p et q par les valeurs 1, 2, 3, 4 (allez 4, au pire) et k par lui aussi quelques valeurs seulement dans une formule peut se faire facilement à la main !!!
je n'ai pas donné le résultat ?
et alors :

la fin est laissée au demandeur (il faut bien lui laisser un peu de travail)

par **Strapeur** » 28 Nov 2013, 21:28

Oui mais la je ne comprend rien désolé je ne suis qu'en seconde et ce n'est pas dans mon programme :/

par **mathafou** » 28 Nov 2013, 23:42

Strapeur a écrit:Oui mais la je ne comprend rien désolé je ne suis qu'en seconde et ce n'est pas dans mon programme :/

Ce n'est pas tellement une question de programme. Il n'y a presque plus rien dans les "programmes".
Et de toute façon ces calculs ne sont dans aucun programme tels quels.
Les calculs ne sont pas tellement compliqués, mais effectivement plus du niveau terminale spé math que du niveau seconde !! (comment veux tu qu'on devine le niveau)
Il faut surtout une habitude du calcul qui permet de penser à la méthode plutot qu'aux développements et factorisations "sensés" être maitrisés depuis le collège, mais que l'on continue à effectuer laborieusement ligne à ligne jusqu'en terminale et même au dela !!

Même la méthode de Chombier avec les discriminants, c'est première minimum (c'est là qu'on apprend à résoudre les équations du second degré avec Delta)

donc en seconde il ne te reste qu'une seule possibilité :

essayer les 294 rectangles systématiquement (avec un tableur) pour trouver les 5 couples qui marchent.
...

sinon avec mes formules il suffisait de remplacer k, p, q par des nombres entiers :
a = k(2pq + q²)
b = k(2p² + 2pq)
c = kpq
d = k(q² + 2p² + 3pq)

avec k, p, q des entiers quelconques, q impair et PGCD(p, q) = 1

soit
p = 1, q = 1 : a = 3k, b = 4k, c = k, d = 6k
pour k = 1, 2, 3 soit les dimensions
(3x4, 1x6), (6x8, 2x12), (9x12, 3x18)

p = 1, q = 3 : a = 15k, b = 8k, c = 3k, d = 20k
k = 1 seulement

p = 2, q = 1 : a = 5k, b = 12k, c = 2k, d = 15k
k = 1 seulement

p = 2, q = 3 : a = 21k, b = 20k, c = 6k, d = 35k trop grands

p = 3, q = 1 : a = 7k, b = 24k, c = 3k, d = 28k trop grands

p ou q > 3 : trop grands

et donc les 5 seules solutions :
(3x4 et 1x6), (6x8 et 2x12), (9x12 et 3x18), (15x8 et 3x20), (5x12 et 2x15)

mais bon ...
cracher ces solutions "en indiquant une démarche" est impossible en seconde.
La démarche c'est :
"j'ai demandé sur un forum et on m'a donné les solutions ainsi qu'une démonstration à laquelle je n'ai rien compris"
c'est la seule réponse que tu peux apporter à ton problème en utilisant les résultats ci dessus.

Il ne te reste que le tableur et ses 294 rectangles ...

par **Strapeur** » 29 Nov 2013, 15:38

Il faut faire un programme sur la calculette

par **Michmichmichmich** » 29 Nov 2013, 15:53

Pouvez vous donner un programme sur casino car le prof n'acceptera pas cette réponse :/

par **mathafou** » 29 Nov 2013, 17:33

Michmichmichmich a écrit:Pouvez vous donner un programme sur casino car le prof n'acceptera pas cette réponse :/

:we: un programme pour tirer au sort et gagner le Jack Pot au casino ?? :zen:

plus sérieusement un programe du genre :

pour a de 1 à 21
.....| pour b de a à 21
.....|.....| pour c de ... à ...
.....|.....|.....| calculer d (parce que a+b = c+d donc d est calculable direct)
.....|.....|.....| tester si a*b = 2*c*d ou c*d = 2*a*b
.....|.....|.....|.... | si oui on a une solution, l'afficher

(désolé pour les petits points, mais le site bouffe les espaces)
ça s'écrit en un rien de temps mais ça dépend de la syntaxe exacte de la calculette.

je n'ai pas mis les bornes pour c
là est toute l'astuce pour éviter de sortir les solutions plusieurs fois
(sinon il faudra faire le tri à la main)
on remarque déja que pour b je n'ai pas mis les bornes de 1 à 21 mais de a à 21 :
pour éviter de considérer deux fois le rectangle axb et le rectangle bxa

moyennant quoi il teste 715 paires de triangles et trouve les 5 solutions en nettement moins de temps qu'il n'a fallu pour le taper !

par **Strapeur** » 30 Nov 2013, 00:24

Et ne pourriez vous donnez le programme ? Car la je bloque sur l'écriture du programme :/

par **mathafou** » 30 Nov 2013, 00:44

Strapeur a écrit:Et ne pourriez vous donnez le programme ? Car la je bloque sur l'écriture du programme :/

il est pratiquement tout écrit !!
il n'y a que les bornes à trouver pour c
et au pire si tu mets "pour c de 1 à 21" eh bien la seule punition c'est de trouver plusieurs fois les mêmes rectangles...
(et la syntaxe "calculette", pour ça je ne peux rien pour toi : je n'ai aucune calculette, tout sur ordi)

maintenant en fait tu veux qu'on te fasse l'exo ?
comment vas tu justifier de l'écriture d'un programme que tu n'as pas écrit ??

un programme pour Algobox :

Code: Tout sélectionner: 1 VARIABLES 2 a EST_DU_TYPE NOMBRE 3 b EST_DU_TYPE NOMBRE 4 c EST_DU_TYPE NOMBRE 5 d EST_DU_TYPE NOMBRE 6 n EST_DU_TYPE NOMBRE 7 msg EST_DU_TYPE CHAINE 8 DEBUT_ALGORITHME 9 n PREND_LA_VALEUR 0 10 POUR a ALLANT_DE 1 A 21 11 DEBUT_POUR 12 POUR b ALLANT_DE a A 21 13 DEBUT_POUR 14 POUR c ALLANT_DE a+1 A floor((a+b)/2) 15 DEBUT_POUR 16 n PREND_LA_VALEUR n+1 17 d PREND_LA_VALEUR a+b-c 18 SI (c*d == 2*a*b) ALORS 19 DEBUT_SI 20 msg PREND_LA_VALEUR "rectangle "+a+" X "+b+" (aire = "+(a*b)+") et rectangle "+c+" X "+d+ "(aire = "+(c*d)+"), perimetres = "+(2*a+2*b) 21 AFFICHER* msg 22 FIN_SI 23 FIN_POUR 24 FIN_POUR 25 FIN_POUR 26 msg PREND_LA_VALEUR n+" paires de rectangles testees" 27 AFFICHER msg 28 FIN_ALGORITHME

par **Strapeur** » 30 Nov 2013, 12:35

Et sous casio ?

par **mathafou** » 30 Nov 2013, 14:23

Strapeur a écrit:Et sous casio ?

eh bien tu regardes comment on traduit "pour x de... a ..." sous casio etc ..

faut pas pousser.
l'algorithme je te l'ai donné
tu as même une traduction effective pour Algobox (qui fonctionne parfaitement) dans lequel "c'est quasiment du français"
si tu ne sais pas te servir de la casio pour écrire un programme, tu crois qu'il s'agit de t'apprendre à le faire ?
et là aussi te donner un programme "tout fait", outre que je n'ai pas de casio, donc personellement je ne sais pas faire, c'est exactement pareil que de répondre :
"les 5 solutions sont ... " (déja données, relis) et basta
comment les avez vous obtenues ? "par un programme que quelqu'un m'a fait sur sa casio ..."

regarde la notice ... que veux tu que je te dises.
ou si quelqu'un a une casio, et te donne son programme tout fait pour que tu le recopies et prétendes l'avoir faiit ...

la programmation c'est pas sorcier : il faut retrousser ses manches et s'y coller. ça ne vient pas "tout cuit" comme ça
on apprend à programmer en programmant, en essayant au moins !

par **Michmichmichmich** » 30 Nov 2013, 23:45

SVP misieux pouvez vous le trouver sur casio psk la moi rien capitch ! Svpsvpsvp

par **mathafou** » 01 Déc 2013, 12:38

Michmichmichmich a écrit:SVP misieux pouvez vous le trouver sur casio psk la moi rien capitch ! Svpsvpsvp

Chouiner ne sert à rien
de toute façon je n'ai pas de casio et pas envie de me fader la doc d'une calculette que je n'ai pas.

comme disent les anglosaxons RTFM : "Read The F.. Manual" Reportes Toi au Foutu Manuel pour savoir la syntaxe des commandes sur Casio.

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SVP misieux pouvez vous le trouver sur casio psk la moi rien capitch ! Svpsvpsvp

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