Suite Arithmétique - Polynome

[Luc13000]

Bonjour à tous !

Voila, je coince sur cet exercice depuis un moment et en fait je ne saisis pas réellement l'énoncé.

(Un) est la suite définie par u0 = a et la relation de récurrence :
= 1/2 + n² + n [ R ]

1) Déterminer un polynome du second degré P(x) de façon que la suite (), de terme général = P(n) vérifie la relation [ R ].

Je pense que du fait que = P(n), on doit trouver un polynome de cette forme an² + bn + c.

Mais après, je coince totalement.
Merci d'avance pour votre aide !

[Flodelarab]

Voila!

Tu as tout compris

tu remplaces tu simplifies et tu identifies. ok ?

[Luc13000]

Merci d'avoir pris le soin de me répondre !
En fait, si j'ai bien compris, il faut que je pose :

1/2 + n² + n = an² + bn + c

Mais après, je ne comprends pas quelle valeur de a je dois prendre pour résoudre l'équation.
Merci d'avance pour vos réponses !

[Flodelarab]

non, j'aurais plutot vu:

P(n)=An²+Bn+C et tu remplaces dans [R]

[Ivanovich]

dsl pour avoir posté le meme sujet deux fois ... je penserai a cherche à l'avenir ... seulement je ne comprends vraiment pas la demarche, serait-il possible d'avoir une explication detaillé pour la premiere question ? elle nous permettra je pense de faire la suite , merci

[Flodelarab]

Une fois défini P(n) comme ci dessus, tu vérifies P(n+1)=1/2 P(n) +n²+n
Ceci te permet de trouver A B et C..

ok?

[Ivanovich]

j'ai encore cherche avec ce que tu m'as dis mais la je comprends vraiment pas du tout, dsl si ca t'ennuie ^^

[nekros]

Salut,

Pourquoi tu postes et tu te déconnectes juste après (pourtant c'est la mitemps non ?)

Sinon pour l'exo, tu aboutis à quel système ?

A+

[nekros]

Jsuis pas sûr de l'orthographe de "mitemps" :hein:

[Ivanovich]

heu pour ton histoire de déconnexion je vois pas ce que tu veux dire, ca me deconnecte automatiquement donc aucune idée.
Sinon je vois vraiment pas ce qu'il faut faire exactement (j'ai quand meme une vague idée) mais avec ce qui a été donné precedement je capte rien !

[nekros]

heu pour ton histoire de déconnexion je vois pas ce que tu veux dire, ca me deconnecte automatiquement donc aucune idée.

Ok, désolé ...


P(n) est un polynôme du second degré donc de la forme :

Or a(n)=P(n) doit vérifier [R]

Donc a(n) vérifie [R] équivaut à

Regarde ce que ça donne en développant.

A+

[Ivanovich]

excuse moi mais je dois développer quoi ? l'exercice est facultatif mais j'aimerais vraiment comprendre et le faire

[nox]

pars de là

a(n) vérifie [R] équivaut à

et ensuite on a P(n) = An²+Bn+c

on sait que an = P(n)

donc remplaces a(n) par son expression An²+Bn+c dans la relation R

tu obtiens A(n+1)² + B(n+1) + C = 1/2 (An²+Bn+c) + n² + n

il n'y a plus qu'à procéder par identification pour trouver A, B et C

[Ivanovich]

donc remplaces a(n) par son expression An²+Bn+c dans la relation R

tu obtiens A(n+1)² + B(n+1) + C = 1/2 (An²+Bn+c) + n² + n

il n'y a plus qu'à procéder par identification pour trouver A, B et C

comment tu as remplacé ? l'identification se fait avec quoi ? et au finale je trouve les coefficient du trinome c'est ca ?

[nox]

bon reprenons : P(n+1) = 1/2 P(n) + n² + n

Or P(n) = An²+Bn+C

donc on a A(n+1)² + B(n+1) + C = 1/2 (An²+Bn+c) + n² + n en remplacant P(n) dans l'expression ci dessus...

jusque la d'accord ?

[Ivanovich]

oui jusque la maintenant j'ai suivi

[nekros]

On a donc soit

D'autre part,

On a donc :



Tu identifies, et tu trouves que , et

Le polynôme recherché est donc

A+

[nox]

eh bien on développe :

A(n+1)² + B(n+1) + C = 1/2 An² + 1/2 Bn + 1/2 C + n² + n
An² + 2An + A + Bn + B + C = 1/2 An² + 1/2 Bn + 1/2 C + n² + n

et on regroupe :

An² + n (2A + B) + (A + B + C) = n² (1/2 A + 1) + (1/2 B + 1) n + 1/2C

on a donc A = 1/2 A + 1, 2A + B = 1/2 B+1 et A + B + C = 1/2C par identification

un systeme de 3 équations à 3 inconnues à résoudre...tu trouveras A, B et C, et tu remplaces dans P(n) pour avoir l'expression du polynôme

[nekros]

Désolé, posts croisés

[nox]

wai pas grave ^^

on trouve pareil au moins ? :ptdr:

edit : waip ouf :)