Continuité de la transformée de Fourier

[lirycle]

Bonjour,

Il est bien connu que la transformée de Fourier d'une fonction intégrable est continue, mais qu'en est-il des fonctions dont le carré seulement est intégrable ?
Il me semble qu'elle est continue par morceaux avec de plus .

C'est en tout cas vérifié par la fonction dont la transformée de Fourier vaut si .

Mais dans le cas général ? Si quelqu'un sait ce qu'il en est et comment le montrer, je suis preneur !!

Merci

[lionel52]

La transformation de Fourier réalise une bijection entre L² et L² !

[lirycle]

La transformation de Fourier réalise une bijection entre L² et L² !

Merci pour cette réponse. Ca voudrait donc dire que ma conjecture est fausse. Mais il me semble que ce n'est une bijection que si on définit que deux fonctions de L2 sont égales lorsque la norme L2 de leur différence est nulle. Autrement dit, lorsqu'elles sont égales presque partout.

Du coup, j'ai l'impression que ce n'est pas si simple. Considérons deux fonctions de L2 presque partout égales. Elles ont même transformée de Fourier non ? Et pourtant elles ne sont pas égales en tout point. Que vaut alors la transformée inverse de la transformée ? Et j'en reviens à la question de départ (sous une autre forme) : est-ce que ce ne serait la fonction presque partout égale aux deux premières et égale en tout point à la moyenne des limites à droite et à gauche :
si alors et est-ce que ?

[lirycle]

Merci pour cette réponse. Ca voudrait donc dire que ma conjecture est fausse. Mais il me semble que ce n'est une bijection que si on définit que deux fonctions de L2 sont égales lorsque la norme L2 de leur différence est nulle. Autrement dit, lorsqu'elles sont égales presque partout.

Du coup, j'ai l'impression que ce n'est pas si simple. Considérons deux fonctions de L2 presque partout égales. Elles ont même transformée de Fourier non ? Et pourtant elles ne sont pas égales en tout point. Que vaut alors la transformée inverse de la transformée ? Et j'en reviens à la question de départ (sous une autre forme) : est-ce que ce ne serait la fonction presque partout égale aux deux premières et égale en tout point à la moyenne des limites à droite et à gauche :
si alors et est-ce que ?

Effectivement, en cherchant un peu il s'avère que ce qu'on appelle L2 n'est pas exactement l'espace des fonctions de carré sommable, mais l'espace des classes d'équivalence des fonctions de carré sommable. Autrement dit, dans L2, deux fonctions sont égales lorsqu'elles sont presque partout égales. Donc la TF est bien une isométrie de L2 mais ça ne permet pas de distinguer deux fonctions presque partout égales :-/