Dm de maths - fonctions dérivées

[Marine2202]

Bonjour à tous, j'avais déjà demander de l'aide pour un autre exercice de mon devoir mais là je suis encore bloquée, je reviens donc vers vous, car j'ai tout compris la dernière fois, mon but n'étant pas de simplement recopié ..

Un laboratoire produit des vaccins. Il peut fabriquer chaque mois entre 0 et 6000 vaccins. Les coûts de production de x centaines de vaccins sont données en euros par la fonction C définie sur [0;60] par:
C(x) = xau cube + 75x² + 1875 x (je ne sais pas comment écrire le cube sur ce forum ..)

1. La fonction C est dérivable sur l'intervalle [0;60].
a) Calculer C'(x) et montrer que:
C'(x) = 3(x-25)²
b) Quel est le signe de C'(x) ? En déduire le sens de variation de C sur [0;60].
2. La vente de chaque vaccin rapporte 6,75€, donc la vente de x centaines de vaccins rapporte une recette R définie par R(x) = 675x (en euros).
a) Montrer que le bénéfice B est défini sur [0;60] par:
B(x) = -xau cube + 75x² - 1200x
b) La fonction B est également dérivable sur [0;60].
Calculer B'(x) et montrer que :
B'(x) = 3(-x+10)(x-40)
c) Etudier de signe de B'(x), puis en déduire le tableau de variation de B.
d) Quel est le bénéfice maximum? Pour quelle valeur de x est-il atteint?

J'ai déjà répondu à la question 1. , pouvez-vous me dire si cela est correct ?

1.
a) C(x) = xau cube - 75x² + 1875x
donc C'(x) = 3x² - 2X75x + 1875
car xau cube donne 3x²
- 75x² donne -2X75x
1875x donne 1875
(Est ce que je dois mettre les identités comme x² donne 2Xx ??)
On factorise afin de trouver à partir de 3x² - 2X75x + 1875
C'(x) = 3(x-25)²
(Dois-je montrer la factorisation dans ma réponse ?)

b) Le signe de C'(x) est positif car C'(x)>0
donc le sens de variation de C sur [0;60] est croissant

Voilà mes réponses, merci d'avance de votre aide.

[Marine2202]

Aider moi s'il vous plaît ..

[eriadrim]

Pour écrire le "au cube", tu peux utiliser "^3", tout le monde comprendra.

Pour la factorisation, tu peux faire éventuellement une petite ligne de justification en plus en développant le .

Ensuite pour la b), ta justification étrange. En gros tu dis que C'(x) est positif parce que C'(x) est strictement positif (ce qui est faux par exemple pour x = 25, C'(x) = 0).
La justification idéale serais de dire que C'(x) est positif parce est un carré et donc toujours positif.

[Marine2202]

D'accord merci, beaucoup :)
Par contre ne pouvez-vous pas m'aider pour la question 2 ?

[eriadrim]

Pour la 2. a)
Il faut se ramener à la définition du bénéfice, c'est à dire les recettes moins les dépenses donc B(x) = R(x) - C(x).

Pour la 2. b)
Tu dérive de la même manière que pour la 1.a) , et ensuite, développe et tu devrais retomber sur le résultat.

Pour la 2.c)
Tu étudie le signe de (-x+10) et de (x-40) et tu en déduis le signe de B'(x)

Pour la 2.d)
Tu peux utiliser le tableau de variation qui va te donner un maximum, et aussi en quel valeur il est atteint.

[titine]

2a) Bénéfice = Recette - Cout
B(x) = R(x) #- C(x)

2b) Calcule la dérivée de B.
Développe le résultat proposé pour vérifier qu'il est bien égal à B'(x)

[Marine2202]

Ok donc pour 2.a) je trouve :
B(x) = R(x) - C(x)
= 675x - x^3 - 75x² + 1875x
= -x^3 - 75x² + (1875x + 675 x)
= -x^3 - 75 x² + 2550x

PROBLÈME : Je ne trouve pas -1200x mais + 2550x je pense que c'est un problème de signe mais où ?

Pour 2.b) : en prenant -x^3 - 75x² - 1200x (j'ai pris la réponse donnée dans l'énoncé)
Je trouve :
B'(x) = -3x² - 2X75x - 1200
Si on reprend : B'(x) = 3(-x+10)(x-40)
= 3X(-x) + 3X10 (x-40)
= (-3x+30)(x-40)
= -3x X x + 3x X 40 + 30 X x +30 X (-40)
= -3x² + 120x + 30x - 1200
= -3x² + 150x -1200
On retrouve le même résultat

Mon raisonnement est-il correct ?

[eriadrim]

Il y a effectivement une erreur de signe, c'est -1875x et pas +1875

Sinon le raisonnement qui suit est bon

[Marine2202]

Oui mais dans mon énoncé c'est + 1875x du coup je comprend pas ..

[eriadrim]

[Marine2202]

Petite question par rapport à ce que vous m'avez dis tout à l'heure " un carré est toujours positif "
Si le carré est négatif -3x² est-ce toujours positif ?
C'est pour la question c) car du coup il y a un problème quand je dresse mon tableau de variation de B ..

[Marine2202]

Ah oui je change tous les signes des nombres entre la parenthèse, pardon

[Marine2202]

Petite question par rapport à ce que vous m'avez dis tout à l'heure " un carré est toujours positif "
Si le carré est négatif -3x² est-ce toujours positif ?
C'est pour la question c) car du coup il y a un problème quand je dresse mon tableau de variation de B ..

[eriadrim]

Seul ce qui est mis au carré est un "carré", là le -3 n'est pas mis au carré, donc n'est pas un carré.
Par contre le si.

[Marine2202]

Mais du coup le signe de B'(x) est positif ou négatif car moi j'ai mis positif or quand je fais mon tableau de variation de B voila ce que je trouve :
[url=http://]tableau[/url]

[Marine2202]

Mais du coup le signe de B'(x) est positif ou négatif car moi j'ai mis positif or quand je fais mon tableau de variation de B voila ce que je trouve :
x .........0 .......................60
B'(x).................. +

B.........-1200.................-3000

(entre -1200 et -3000 une flèche monte)
Je ne sais pas si vous allez comprendre mais je n'arrive pas à copier-coller mon tableau..

[eriadrim]

Pour la c) il faut se servir du signe de (-x+10) et (x+40), tu fais un tableau de signe de ces deux éléments, et tu peux en déduire le signe de B'(x).
Il ne faut surtout pas se servir de B'(x) sous la forme -3x² + 150x -1200 car il est très dur de déterminer le signe d'une somme de terme. Alors que le signe d'un produit c'est simple .. C'est pour cela que B'(x) sous la forme 3(-x+10)(x+40) est beaucoup plus adapté.

[Marine2202]

Ah ok donc ne vous occuper pas de ce que j'ai mis au dessus c'est forcément faux ..

[eriadrim]

Calcule B'(20)

[eriadrim]

Excuse moi B'(20) est positif mais B'(0) ne l'est pas ni B'(50)